Člen 201. Postopek za uporabo davčnih olajšav 1. Davčne olajšave iz odstavkov 1–4 člena 200 tega zakonika se izvedejo na podlagi poravnalnih dokumentov in računov, ki jih izdajo prodajalci, ko zavezanec kupi trošarinsko blago

Celoten sistem odbitkov. Dani sistem odbitkov. Najpogostejši sistemi odbitkov so: najmanj pozitivni, najmanj nenegativni, absolutno najmanj itd.

1. izrek. Lastnosti popolnega in reduciranega sistema ostankov.

1°. Merilo za popoln sistem odbitkov. Vsaka zbirka m cela števila, ki so parno neprimerljiva po modulu m, tvori popoln sistem modulo ostankov m.

2°. Če številke x 1 , x 2 , ..., x m– popoln sistem odbitkov po modulu m, (a, m) = 1, b je poljubno celo število, nato številke sekira 1 +b, sekira 2 +b, ..., sekira m+b sestavljajo tudi celoten sistem modulo odbitkov m.

3°. Merilo za znižani sistem odbitkov. Vsaka zbirka, sestavljena iz j( m) cela števila, ki so parno neprimerljiva po modulu m in soprime z modulom, tvori reducirani sistem modulo ostankov m.

4°. Če številke x 1 , x 2 , ..., x j( m) – reducirani sistem modulo ostankov m, (a, m) = 1, nato številke sekira 1 , sekira 2 , ..., a x j( m) prav tako tvorijo reducirani sistem modulo ostankov m.

Izrek 2. Eulerjev izrek.

Če številke a in m relativno prvovrsten, torej a j( m) º 1 (mod m).

Posledica.

1°. Fermatov izrek. če str– praštevilo in a ni deljivo z str, To a str–1 º 1 (mod str).

2°. Posplošen Fermatov izrek. če str je torej praštevilo a str º a(mod str) za katero koli aÎ Z .

§ 4. Reševanje primerjav s spremenljivko

Reševanje primerjav. Enakovrednost. Stopnja primerjave.

Izrek. Lastnosti rešitev za primerjave.

1°. Rešitve primerjav so celi razredi ostankov.

2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= Þ primerjava º 0 (mod m) in º 0 (mod m) so enakovredne.

3°. Če obe strani primerjave pomnožimo s številom, ki je soprosto z modulom, potem dobimo primerjavo, ki je enakovredna prvotni.

4°. Vsaka primerjava po modulu prime str je enakovredna primerjavi, katere stopnja ne presega str–1.

5°. Primerjava º 0 (mod str), Kje str– praštevilo, nima več kot n različne rešitve.

6°. Wilsonov izrek. ( n-1)! º –1 (mod n) Û n Praštevilo.

§ 5. Reševanje primerjav prve stopnje

sekira º b(mod m).

Izrek. 1°. Če ( a, m) = 1, potem ima primerjava rešitev, in to edinstveno.

2°. Če ( a, m) = d in b ni deljivo z d, potem primerjava nima rešitev.

3°. Če ( a, m) = d in b deljeno s d, potem ima primerjava d različne raztopine, ki sestavljajo en razred ostankov modulo.

Načini reševanja primerjav sekira º b(mod m) v primeru, ko ( a, m) = 1:

1) izbor (izbor elementov celotnega sistema odbitkov);

2) uporaba Eulerjevega izreka;

3) uporaba evklidskega algoritma;

4) variacija koeficientov (uporaba lastnosti 2° popolnega sistema ostankov iz izreka 2.2);

§ 6. Nedoločene enačbe prve stopnje

sekira+avtor = c.

Izrek. Enačba sekira+avtor = c rešljiva, če in samo če c (a, b).

Kdaj ( a, b) = 1 so vse rešitve enačbe podane s formulami

tÎ Z , Kje x 0 je primerjalna rešitev

sekira º c(mod b), l 0 = .

Diofantove enačbe.

POGLAVJE 10. Kompleksna števila

Definicija sistema kompleksnih števil. Obstoj sistema kompleksnih števil

Definicija sistema kompleksnih števil.

Izrek. Obstaja sistem kompleksnih števil.

Model: R 2 z operacijami

(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ac–bd, pr+oglas),

jaz= (0, 1) in identifikacija A = (A, 0).

Algebraična oblika kompleksnega števila

Predstavitev kompleksnega števila kot z = a+bi, Kje a, bÎ R , jaz 2 = –1. Edinstvenost takšne reprezentacije. Re z, Sem z.

Pravila za izvajanje aritmetičnih operacij nad kompleksnimi števili v algebraični obliki.

Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor C n. Sistemi linearnih enačb, matrike in determinante nad C .

Izvleček kvadratnih korenov kompleksnih števil v algebraični obliki.

diplomsko delo

2.5.2 Odbitki. Popolni in zmanjšani sistemi odbitkov

Enaka ostankovna števila ali, kar je isto, primerljiva po modulu m, tvorijo razred števil po modulu m.

Iz te definicije sledi, da vsa števila v razredu ustrezajo istemu ostanku r, vsa števila v razredu pa dobimo, če v obliki mq + r naredimo, da q preleti vsa cela števila.

Ustreza m različnim vrednostim r, imamo m razredov števil po modulu m.

Vsako število razreda se imenuje ostanek modulo m glede na vsa števila istega razreda. Ostanek, dobljen pri q = 0, enak samemu ostanku r, imenujemo najmanjši nenegativni ostanek.

Če vzamemo en odbitek iz vsakega razreda, dobimo celoten sistem odbitkov po modulu m. Najpogosteje se kot celoten sistem ostankov uporabljajo najmanjši nenegativni ostanki 0, 1, ..., m-1 ali pa tudi absolutno najmanjši ostanki. Slednje, kot izhaja iz zgoraj navedenega, v primeru lihih m predstavljajo serije

1, 0, 1, ...,

v primeru sodega m pa s katero koli od obeh serij

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Poljubnih m števil, ki so parno neprimerljiva po modulu m, tvorijo popoln sistem ostankov po modulu m.

Dejansko ta števila, ker so neprimerljiva, pripadajo različnim razredom, in ker jih je m, tj. kolikor je razredov, bo vsak razred verjetno vseboval eno številko.

Če (a, m) = 1 in x teče skozi celoten sistem ostankov po modulu m, potem ax + b, kjer je b poljubno celo število, prav tako poteka skozi celoten sistem ostankov po modulu m.

Dejansko bo toliko števil ax + b, kolikor je števil x, tj. m. Glede na prejšnjo izjavo ostane torej samo še pokazati, da bosta katerikoli dve števili ax 1 + b in ax 2 + b, ki ustrezata neprimerljivima x 1 in x 2, sami neprimerljivi po modulu m.

Toda ob predpostavki, da je ax 1 + b ax 2 + b (mod m), pridemo do primerjave ax 1 = ax 2 (mod m), iz katere zaradi (a, m) = 1 dobimo

x 1 x 2 (mod m),

kar je v nasprotju s predpostavko, da sta števili x 1 in x 2 neprimerljivi.

Števila istega razreda po modulu m imajo enak največji skupni delitelj. Posebej pomembni so razredi, pri katerih je ta delitelj enak ena, tj. razredi, ki vsebujejo števila, soprosta z modulom.

Če vzamemo en ostanek iz vsakega takega razreda, dobimo reducirani sistem ostankov po modulu m. Dani sistem ostankov je torej lahko sestavljen iz števil celotnega sistema, ki so praštevilna z modulom. Običajno je dani sistem ostankov izoliran iz sistema najmanj nenegativnih ostankov: 0, 1, ..., m-1. Ker je med temi števili število, ki je soprosto z m, (m), potem je število števil v reduciranem sistemu, kot tudi število razredov, ki vsebujejo števila, ki so soprosta z modulom, (m).

Primer. Dani sistem odbitkov po modulu 42 bo 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Katera koli (m) števila, ki so parno neprimerljiva po modulu m in relativno praštevilna glede na modul, tvorijo reducirani sistem ostankov po modulu m.

Dejansko, ker so neprimerljiva in soprosta z modulom, ta števila zato pripadajo različnim razredom, ki vsebujejo števila, soprosta z modulom, in ker jih je (m), tj. kolikor je razredov navedene vrste, bo vsak razred verjetno vseboval eno številko.

Če (a, m) = 1 in x teče skozi reducirani sistem ostankov modulo m, teče tudi ax skozi reducirani sistem ostankov modulo m.

Dejansko bo toliko števil ax, kolikor je števil x, tj. (m). V skladu s prejšnjo lastnostjo ostane torej samo pokazati, da so števila ax modulo m neprimerljiva in enako pramodulo. Prva izhaja iz lastnosti primerjav (če primerjava poteka po modulu m, potem poteka tudi po modulu d, enako kateremu koli delitelju števila m) za števila splošnejše oblike ax + b, druga pa iz (a, m) = 1, (x, m) = 1.

Algebraični problem lastnih vrednosti za matrike posebne oblike in njegova programska oprema

Pri postavljanju problema lastnih vrednosti za matrike, katerih elementi so podani približno, se seveda pojavi vprašanje o stabilnosti nastale rešitve, z drugimi besedami, vprašanje o ...

Baza podatkov MS Access

Programska oprema za baze podatkov se na osebnih računalnikih uporablja že kar nekaj časa. Na žalost so bili ti programi bodisi osnovni upravitelji pomnilnika in niso imeli orodij za razvoj aplikacij ...

Defragmentator datotečnega sistema

Popolna defragmentacija ali defragmentacija prostega prostora je bila ena prvih uporabljenih metod. Ta metoda defragmentira vse datoteke in jih postavi na začetek particije, kar vam omogoča, da sprostite največjo možno prosto površino na disku...

Računalniško modeliranje robotskih naprav

V tem tečaju je potrebno proučiti modeliranje robotskih naprav z naslednjimi metodami: 1. Z uporabo sistema MathCAD - preučiti obnašanje ene povezave robota...

Metode in sredstva za zaščito računalniških informacij

Šifriranje z uporabo algoritma Rijndael je implementirano v obliki naslednje psevdokode. Argumenti se obravnavajo kot kazalci na bajtna ali štiribajtna besedna polja. Razlaga polj, spremenljivk in funkcij je podana v tabelah 11-13...

Opis izvedbe osnovnega modela električnega tokokroga

Pri tej nalogi morate opraviti: 1. Z uporabo sistema MathCAD izračunati vrednosti nabojne funkcije na kondenzatorju v danem električnem tokokrogu. Zgradite grafa kapacitivnosti kondenzatorja in funkcije naboja. 2 ...

Aplikacije za Windows: grafični urejevalnik Paint

Z dvojnim klikom na celico palete lahko izberete barvo zanjo iz celotne barvne palete ...

Uporaba sistemov računalniškega modeliranja za preučevanje matematičnega modela vezja RLC

Uporaba sistemov Mathcad in Matlab za preučevanje matematičnega modela električnega modela, vključno z virom EMF, uporom R, kapacitivnostjo C in induktorjem L. Popolna izjava problema: 1. Uporaba sistema Mathcad 1...

Uporaba sistema MathCAD za študij modela električnega tokokroga s spremenljivo induktivnostjo

Uporaba sistema MathCAD za preučevanje modela električnega vezja s spremenljivo induktivnostjo, podano grafično. Izjava o problemu: 1...

Uporaba sistema MathCAD za preučevanje odziva električnega tokokroga na zunanje vplive

Uporaba sistema Mathcad za preučevanje odziva električnega tokokroga na zunanji vpliv. Postavitev problema 1. Z uporabo sistema Mathcad izračunajte vrednosti reakcijske funkcije u(t) na vpliv e(t). Nariši grafa funkcij u(t) in e(t). 2 ...

Program za reševanje sistema navadnih diferencialnih enačb

Razvoj algoritma in programa Pascal za izračun dane funkcije

Napišimo celoten program Pascal v skladu z razvitim algoritmom, ki je podan v dodatku A. Program n_33; var m, n, j: celo število; b, an, mult, h: pravi; x: niz realnih; y: niz realnih; c: niz realnih; gd,gm,n,m,i,j:celo število; s,b,srk,min,max,y1:resnično; Začni clrscr; writeln (vvedite kol-vo členov c,x); preberi(n...

Sinteza algoritmov za usklajeno vodenje prostorskega gibanja brezpilotnega letalnika

Znano je, da je ena glavnih točk pri pripravi ali razvoju matematičnega modela letala sprejetje različnih predpostavk, ki poenostavljajo in shematizirajo dejanski proces. Ustvarjanje predpostavk je inženirska naloga, od pravilnega...

Vodenje projekta za implementacijo avtomatiziranega informacijskega sistema za Rome LLC

Avtomatski krmilni sistem kot sistem je sestavljen iz velikega števila elementov različnih ravni in za različne namene. Ti vključujejo podsisteme, module, krmilne enote, naloge, postopke upravljanja, funkcije, operacije itd. Osnovni sistemi, kot je ERP...

Glede na lastnost primerjav št. 15 so števila istega razreda modulo m imajo z modulom m isti GCD. Posebej pomembni so razredi, za katere je enako 1.

Če vzamemo eno številko iz vsakega od teh razredov, dobimo zmanjšan sistem odbitkov modulo m. Običajno je izoliran iz sistema najmanjših nenegativnih modulo ostankov m.

Reducirani sistem najmanjših nenegativnih modulo ostankov m označen z U m.

Število števil v danem modulo sistemu ostankov m, očitno enako φ( m).

Primer:

Podani sistem odbitkov po modulu 15 je (1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14). Upoštevajte, da je φ(15)=(5–1)∙(3–1)= 8 in dejansko je v danem sistemu ostankov po modulu 15 točno 8 elementov.

Izjava 1

Vsak φ( m) števila, ki so parno neprimerljiva po modulu m in soprime z m, tvorijo reduciran sistem ostankov.

(Dokaz je očiten kot v trditvi 1, točka 2)

Izjava 2

Če ( a, m) = 1, x teče skozi reducirani sistem modulo ostankov m, To sekira teče tudi skozi reducirani sistem modulo ostankov m. (Dokaz je očiten kot v izjavi 2, točka 2).

Povratni element.

Pravijo, da element b klical vzvratno Za a modulo m, Če a∙b≡1(mod m), in pišite b ≡ a–1 (mod m).

Na splošno klasična teorija števil ne potrebuje takšnega koncepta kot inverzni element, kot je razvidno iz na primer branja . Vendar pa kriptologija uporablja sisteme ostankov tako v številsko-teoretičnem kot v algebrskem pogledu, zato za udobje predstavitve algebrskih temeljev kriptologije uvajamo koncept inverznega elementa.

Postavlja se vprašanje: ali velja za vse elemente v tem modulu? m obstaja inverz (z množenjem) in če za nekatere elemente inverz obstaja, kako ga najti?

Za odgovor na to vprašanje bomo uporabili razširjeni evklidski algoritem. Najprej razmislimo o soprostih številih a in modul m. Potem očitno ( a,m)=1. Razširjeni evklidski algoritem vam omogoča pridobivanje števil x in l, tako da sekira+moj=(a,m), ali, kar je isto, sekira+moj=1. Iz zadnjega izraza dobimo primerjavo sekira+moj≡1(mod m). Zaradi moj≡0(mod m), to sekira≡1(mod m), kar pomeni število, pridobljeno z uporabo razširjenega evklidskega algoritma x je natanko zahtevani inverzni element števila a modulo m.

Primer.

a=5, m=7. Treba najti a-1 mod m.

Uporabimo razširjeni evklidski algoritem.

Zadaj:

1=5–2∙2=5–(7–5∙1)∙2=5∙3–7∙2.

x=3, l=–2.

5 -1 ≡3(mod 7)

Preverite: 5∙3=15. 15≡1(mod 7).

Dejansko je 3 obratno število 5 po modulu 7.

Torej smo konstruktivno preverili, da za števila, ki so praštevilna modulu, obstaja inverz glede na ta modul. Ali obstajajo inverzni elementi za števila, ki niso enaka svojemu modulu?

Pustiti ( a,m)=d≠1. Potem lahko a in m predstavimo v obliki a=d∙a 1 , m=d∙m 1. Predpostavimo, da za a obstaja inverzni element po modulu m, tj b: a∙b≡1(mod m). Potem a∙b= m∙k+1. Ali, kar je isto, d∙a 1 ∙b=d∙m 1 ∙k+1. Toda potem, v skladu z izrekom 2 iz §1 str.1, zaradi dejstva, da sta tako leva stran te enačbe kot prvi člen na desni strani razdeljena na d, To d\1, vendar to ni res, ker d≠1. Prišli smo do protislovja, zato predpostavka o obstoju inverznega elementa ni pravilna.

V prejšnjem odstavku je bilo ugotovljeno, da je razmerje  m primerljivost poljubnega modula m je ekvivalenčna relacija na množici celih števil. Ta ekvivalenčna relacija inducira razdelitev množice celih števil v razrede elementov, ki so med seboj enakovredni, tj. števila, ki jih delimo z m enaka stanja. Število ekvivalenčnih razredov  m(strokovnjaki bodo rekli - "indeks enakovrednosti  m") je popolnoma enako m.

Opredelitev. Poljubno število iz ekvivalenčnega razreda  m imenovali ga bomo modulo ostanek m. Niz odbitkov, vzetih po enega iz vsakega enakovrednega razreda  m, se imenuje popoln sistem modulo ostankov m(v celotnem sistemu odbitkov je torej samo m številk). Sami ostanki pri deljenju z m se imenujejo najmanjši nenegativni ostanki in seveda tvorijo popoln sistem modulo ostankov m. Odbitek ρ se imenuje absolutno najmanjši, če ⎪ ρ ⎪ najmanjši med moduli ostankov tega razreda.

Primer: Pustiti m= 5. Potem:

0, 1, 2, 3, 4 - najmanjši nenegativni ostanki;

2, -1, 0, 1, 2 so absolutni najmanjši odbitki.

Oba podana niza števil tvorita popoln sistem ostankov po modulu 5.

Lema 1. 1) Kateri koli m kosi, ki niso primerljivi po modulu mštevila tvorijo popoln sistem modulo ostankov m.

2) Če A in m so razmeroma preproste in x teče skozi celoten sistem modulo ostankov m, nato vrednosti linearne oblike Ax + b, Kje b– poljubno celo število, poteka tudi skozi celoten sistem modulo ostankov m.

Dokaz. Trditev 1) je očitna. Dokažimo trditev 2) Števila Ax+b gladka m stvari. Pokažimo, da nista primerljiva po modulu m. Pa naj bo za nekaj drugačnega x 1 in x 2 iz celotnega sistema odbitkov se je izkazalo, da sekira 1 + b ≡ sekira 2 + b(mod m). Nato glede na lastnosti primerjav iz prejšnjega odstavka dobimo:

sekira 1 ≡ sekira 2 (mod m)

x 1 ≡ x 2 (mod m)

– v nasprotju z dejstvom, da x 1 in x 2 sta različni in vzeti iz celotnega sistema odbitkov.

Ker so vsa števila iz danega ekvivalenčnega razreda  m dobimo iz enega števila danega razreda z dodajanjem števila, ki je večkratnik m, potem imajo vsa števila iz tega razreda modul m enak največji skupni delitelj. Iz nekaterih razlogov so povečanega zanimanja tisti odbitki, ki so povezani z modulom m največji skupni delitelj enak ena, tj. ostanki, ki so enaki modulu.

Opredelitev. Zmanjšan sistem modulo odbitkov m je množica vseh ostankov iz celotnega sistema, ki so enaki modulu m.

Reducirani sistem se običajno izbere med najmanjšimi nenegativnimi ostanki. Jasno je, da dani sistem modulo ostankov m vsebuje ϕ (m) kosov odbitkov, kjer ϕ (m) – Eulerjeva funkcija – število števil, manjših od m in soprime z m.

Eulerjeva funkcija.

Eulerjeva funkcija ϕ (a) je število števil iz serije 0, 1, 2,..., a–1, koprime z a.

Lema. Pustiti

T
kdaj:

zlasti φ( str α) = str α – strα -1 , φ( str) = str–1.

Primer. Pustiti m= 42. Potem je dani sistem ostankov:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lema 2. 1) Kateri koli ϕ (m) števila, ki so parno neprimerljiva po modulu m in soprosti z modulom, tvorijo reducirani sistem modulo ostankov m.

2) Če d(a, m) = 1 in x teče skozi reducirani sistem modulo ostankov m, To Ax teče tudi skozi reducirani sistem modulo ostankov m.

Dokaz. Trditev 1) je očitna. Dokažimo trditev 2). Številke Ax parno neprimerljivi (to je dokazano na enak način kot v 1. lemi tega odstavka), obstaja natanko ϕ (m) stvari. Jasno je tudi, da so vsi relativno praštevilni glede na modul, ker d(a, m)=1, d(x,m)=1 ⇒ d(sekira, m)=1. Torej številke Ax tvorijo reduciran sistem ostankov.

Lema 3. Pustiti m 1 , m 2 , ..., m k – sta po paru relativno praštevilna in m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k , Kje M j =m 1 ...m j -1 m j +1...m k

1) Če x 1 , x 2 , ..., x k teči skozi celotne sisteme ostankov modulo m 1 , m 2 , ..., m k M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k skozi celoten sistem modulo odbitkov m= m 1 m 2 ...m k .

2) Če je ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k potekajo skozi reducirane sisteme ostankov modulo m 1 , m 2 , ..., m k v skladu s tem vrednosti linearne oblike M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k potekajo skozi reducirani sistem modulo ostankov m= m 1 m 2 ...m k .

Lema 4. Pustiti x 1 , x 2 , ..., x k , x zagon končan in ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – teči po reduciranih sistemih ostankov modulo m 1 , m 2 ,...,m k in m=m 1 m 2 ...m k oziroma kje (m jaz m j )=1 pri jaz≠ j. Nato ulomki (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } sovpadajo z ulomki (x/m), in ulomki { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ k /m k } sovpadajo z ulomki { ξ /m).

Označimo z ε k k th koren m- o moč enosti:

Tukaj k=0,1,...,m-1 – teče skozi celoten sistem modulo ostankov m.

Naj vas spomnim, da je vsota ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 vse korenine m th potenca ena je enaka nič za katero koli m. Res, naj bo ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 =a. Ta znesek pomnožite s številom, ki ni nič ε 1. Takšno množenje geometrijsko v kompleksni ravnini pomeni rotacijo pravilne m-kotnik, na ogliščih katerega se nahajajo korenine ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1, pod kotom, ki ni enak nič 2 π /m. Jasno je, da je v tem primeru koren ε 0 gre v koren ε 1 , koren ε 1 gre v koren ε 2 , itd., in koren ε m-1 gre v koren ε 0 , tj. vsota ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 Ne bo spremenilo. Imamo ε 1 a=a, kje a=0.

1. izrek. Pustiti m>0– celo število, a Z, x teče skozi celoten sistem modulo ostankov m. Potem, če A večkraten m, To

drugače, ko A ne večkratnik m,

Izrek 2. Pustiti m>0 je celo število, ξ poteka skozi modulo reducirani sistem ostankov m. Potem (vsota antiizpeljanih korenov stopnje m):

kjer je μ( m) – Möbiusova funkcija.