Globe 

Polinom, njegova standardna oblika, stopnja in koeficienti členov. Polinom, njegova standardna oblika, stopnja in koeficienti členov Osnovne lastnosti celoštevilskih polinomov

Na primer izrazi:

a - b + c, x 2 - l 2 , 5x - 3l - z- polinomi.

Monomi, ki sestavljajo polinom, se imenujejo členi polinoma. Razmislite o polinomu:

7a + 2b - 3c - 11

izrazi: 7 a, 2b, -3c in -11 sta člena polinoma. Bodite pozorni na izraz -11. Ne vsebuje spremenljivke. Takšni člani, ki so sestavljeni samo iz številk, se imenujejo prost.

Splošno sprejeto je, da je vsak monom poseben primer polinoma, sestavljenega iz enega člena. V tem primeru je monom ime za polinom z enim členom. Za polinome, sestavljene iz dveh in treh členov, obstajajo tudi posebna imena - binom in trinom:

7a- monom

7a + 2b- binom

7a + 2b - 3c- trinom

Podobni člani

Podobni člani- monomi, vključeni v polinom, ki se med seboj razlikujejo samo po koeficientu, predznaku ali se sploh ne razlikujejo (nasprotne monome lahko imenujemo tudi podobni). Na primer, v polinomu:

3a 2 b + 5abc 2 + 2a 2 b - 7abc 2 - 2a 2 b

člani 3 a 2 b, 2a 2 b in 2 a 2 b, kot tudi člani 5 abc 2 in -7 abc 2 sta podobna izraza.

Prinašanje podobnih članov

Če polinom vsebuje podobne člene, ga je mogoče zmanjšati na enostavnejšo obliko tako, da podobne člene združimo v enega. To dejanje se imenuje prinaša podobne člane. Najprej zapišimo vse take izraze ločeno v oklepajih:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

Če želite združiti več podobnih monomov v enega, morate sešteti njihove koeficiente in pustiti črkovne faktorje nespremenjene:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Zmanjšanje podobnih členov je operacija zamenjave algebraične vsote več podobnih monomov z enim monomom.

Polinom standardne oblike

Polinom standardne oblike je polinom, katerega vsi členi so monomi standardne oblike, med katerimi ni podobnih členov.

Da bi polinom spravili v standardno obliko, je dovolj, da zmanjšamo podobne člene. Na primer, predstavite izraz kot polinom standardne oblike:

3xy + x 3 - 2xy - l + 2x 3

Najprej poiščimo podobne izraze:

Če vsi členi polinoma standardnega tipa vsebujejo isto spremenljivko, potem so njegovi členi običajno urejeni od največje do najmanjše stopnje. Prosti člen polinoma, če obstaja, je postavljen na zadnje mesto - desno.

Na primer, polinom

3x + x 3 - 2x 2 - 7

mora biti zapisano takole:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

§ 13. Celotne funkcije (polinomi) in njihove osnovne lastnosti. Reševanje algebrskih enačb na množici kompleksnih števil 165

13.1. Osnovne definicije 165

13.2. Osnovne lastnosti celih polinomov 166

13.3. Osnovne lastnosti korenov algebraične enačbe 169

13.4. Reševanje osnovnih algebrskih enačb na množici kompleksnih števil 173

13.5. Vaje za samostojno delo 176

Vprašanja za samotestiranje 178

Glosar 178

      1. Osnovne definicije

Celotna algebraična funkcija oz algebrski polinom (polinom )prepir x imenovana funkcija naslednjega tipa

Tukaj n–stopnja polinoma ( naravno število ali 0), x – spremenljivka (realna ali kompleksna), a 0 , a 1 , …, a n –polinomski koeficienti (realna ali kompleksna števila), a 0  0.

na primer

;
;
,
– kvadratni trinom;

,
;.

številka X 0 tako, da p n (x 0)0, imenovano ničelna funkcija p n (x) oz koren enačbe
.

na primer


njegove korenine
,
,
.


Ker
in
.

Opomba (o definiciji ničel celotne algebraične funkcije)

V literaturi so pogosto funkcijske ničle
se imenujejo njegove korenine. Na primer številke
in
imenujemo korenine kvadratne funkcije
.

      1. Osnovne lastnosti celoštevilskih polinomov

 Identiteta (3) velja za  x
(ali x), torej velja za
; nadomeščanje
, dobimo A n = b n. Sporazumno prekličimo pogoje v (3) A n in b n in oba dela razdelite na x:

Ta istovetnost velja tudi za  x, vključno s tem, ko x= 0, torej ob predpostavki x= 0, dobimo A n – 1 = b n – 1 .

Sporazumno prekličimo pogoje v (3") A n– 1 in b n– 1 in obe strani delite z x, kot rezultat dobimo

Če argument nadaljujemo podobno, dobimo to A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .

Tako je bilo dokazano, da identična enakost dveh celih polinomov pomeni sovpadanje njunih koeficientov za iste potence. x.

Obratna izjava je dokaj očitna, to je, če imata dva polinoma enake vse koeficiente, potem sta enaki funkciji, definirani na množici
, zato njihove vrednosti sovpadajo za vse vrednosti argumenta
, kar pomeni njihovo enako enakost. Lastnost 1 je popolnoma dokazana.

Primer (identična enakost polinomov)

.

 Zapišimo formulo za deljenje z ostankom: p n (x) = (x – X 0)∙Q n – 1 (x) + A,

Kje Q n – 1 (x) - polinom stopnje ( n – 1), A- ostanek, ki je število zaradi znanega algoritma deljenja polinoma z binomom "v stolpcu".

Ta enakost velja za  x, vključno s tem, ko x = X 0 ; verjeti
, dobimo

p n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + AA = p n (X 0) 

Posledica dokazane lastnosti je izjava o deljenju polinoma z binomom brez ostanka, znana kot Bezoutov izrek.

Bezoutov izrek (o deljenju celoštevilskega polinoma z binomom brez ostanka)

Če število je nič polinoma
, potem je ta polinom brez ostanka deljiv z razliko
, to pomeni, da je enakost resnična



(5)

 Dokaz Bezoutovega izreka je mogoče izvesti brez uporabe predhodno dokazane lastnosti deljenja celoštevilskega polinoma
po binomu
. Res, zapišimo formulo za deljenje polinoma
po binomu
z ostankom A=0:

Zdaj pa to upoštevajmo je nič polinoma
, in zapišite zadnjo enakost za
:

Primeri (faktoriziranje polinoma z Bezoutovim t.i.)

1) ker p 3 (1)0;

2) ker p 4 (–2)0;

3) ker p 2 (–1/2)0.

Dokaz tega izreka presega obseg našega predmeta. Zato sprejemamo izrek brez dokaza.

Delajmo na tem izreku in Bezoutovem izreku s polinomom p n (x):

po n- z večkratno uporabo teh izrekov dobimo to

Kje a 0 je koeficient pri x n v polinomskem zapisu p n (x).

Če v enakosti (6) kštevilke iz kompleta X 1 ,X 2 , …X n sovpadata med seboj in s številom , potem v produktu na desni dobimo faktor ( x–) k. Potem številka x= se imenuje k-kratni koren polinoma p n (x ) , ali koren množice k . če k= 1, nato številko
klical enostavni koren polinoma p n (x ) .

Primeri (polinomska linearna faktorizacija)

1) p 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - preprost koren, x 2 = 4 - trojni koren;

2) p 4 (x) = (x – jaz) 4  x = jaz- koren množice 4.

Po študiju monomov preidemo na polinome. Ta članek vam bo povedal o vseh potrebnih informacijah, potrebnih za izvajanje dejanj na njih. Definirali bomo polinom s pripadajočimi definicijami polinomskega člena, torej prosti in podobni, obravnavali polinom standardne oblike, predstavili stopnjo in se jo naučili iskati ter delati z njenimi koeficienti.

Polinom in njegovi izrazi - definicije in primeri

Definicija polinoma je bila podana v 7 razreda po študiju monomov. Poglejmo njegovo celotno definicijo.

Definicija 1

Polinom izračuna se vsota monomov, sam monom pa je poseben primer polinoma.

Iz definicije sledi, da so primeri polinomov lahko različni: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z in tako naprej. Iz definicije imamo to 1+x, a 2 + b 2 in izraz x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x sta polinoma.

Poglejmo si še nekaj definicij.

Definicija 2

Člani polinoma njeni sestavni monomi se imenujejo.

Razmislite o primeru, kjer imamo polinom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, sestavljen iz 4 členov: 3 x 4, − 2 x y, 3 in − y 3. Takšen monom lahko štejemo za polinom, ki je sestavljen iz enega člena.

Definicija 3

Polinomi, ki vsebujejo 2, 3 trinome, imajo ustrezno ime - binom in trinom.

Iz tega sledi, da izraz oblike x+y– je binom, izraz 2 x 3 q − q x x x + 7 b pa je trinom.

Po šolskem učnem načrtu smo delali z linearnim binomom oblike a · x + b, kjer sta a in b nekaj števil, x pa spremenljivka. Oglejmo si primere linearnih binomov oblike: x + 1, x · 7, 2 − 4 s primeri kvadratnih trinomov x 2 + 3 · x − 5 in 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Za transformacijo in rešitev je treba najti in prinesti podobne izraze. Na primer, polinom v obliki 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ima podobne člene 1 in - 3, 5 x in 2 x. Razdeljeni so v posebno skupino, imenovano podobni členi polinoma.

Definicija 4

Podobni členi polinoma so podobni izrazi, ki jih najdemo v polinomu.

V zgornjem primeru imamo, da so 1 in - 3, 5 x in 2 x podobni členi polinoma ali podobni členi. Da bi poenostavili izraz, poiščite in zmanjšajte podobne izraze.

Polinom standardne oblike

Vsi monomi in polinomi imajo svoja posebna imena.

Definicija 5

Polinom standardne oblike se imenuje polinom, v katerem ima vsak člen, ki je vanj vključen, monom standardne oblike in ne vsebuje podobnih členov.

Iz definicije je jasno, da je možno reducirati polinome standardne oblike, na primer 3 x 2 − x y + 1 in __formula__, vnos pa je v standardni obliki. Izraza 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z in 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nista polinoma standardne oblike, saj ima prvi od njiju podobne člene v oblika 3 · x 2 in − x 2, drugi pa vsebuje monom oblike x · y 3 · x · z 2, ki se razlikuje od standardnega polinoma.

Če okoliščine to zahtevajo, se včasih polinom reducira na standardno obliko. Koncept prostega člena polinoma velja tudi za polinom standardne oblike.

Opredelitev 6

Prosti člen polinoma je polinom standardne oblike, ki nima dobesednega dela.

Z drugimi besedami, ko ima polinom v standardni obliki število, se imenuje prosti član. Potem je število 5 prosti člen polinoma x 2 z + 5, polinom 7 a + 4 a b + b 3 pa nima prostega člena.

Stopnja polinoma - kako jo najti?

Sama definicija stopnje polinoma temelji na definiciji polinoma standardne oblike in na stopnjah monomov, ki so njegove komponente.

Opredelitev 7

Stopnja polinoma standardne oblike se imenuje največja od stopinj, vključenih v njen zapis.

Poglejmo si primer. Stopnja polinoma 5 x 3 − 4 je enaka 3, ker imajo monomi, vključeni v njegovo sestavo, stopnje 3 in 0, večji med njimi pa 3. Definicija stopnje iz polinoma 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x je enaka največjemu izmed števil, to je 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 in 1, kar pomeni 5 .

Ugotoviti je treba, kako se najde sama diploma.

Opredelitev 8

Stopnja polinoma poljubnega števila je stopnja ustreznega polinoma v standardni obliki.

Ko polinom ni zapisan v standardni obliki, vendar morate najti njegovo stopnjo, ga morate zmanjšati na standardno obliko in nato poiskati zahtevano stopnjo.

Primer 1

Poiščite stopnjo polinoma 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

rešitev

Najprej predstavimo polinom v standardni obliki. Dobimo izraz v obliki:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Ko dobimo polinom standardne oblike, ugotovimo, da jasno izstopata dva - 2 · a 2 · b 2 · c 2 in y 2 · z 2 . Da bi našli stopinje, naredimo matematiko in ugotovimo, da je 2 + 2 + 2 = 6 in 2 + 2 = 4. Vidi se, da je največji med njimi 6. Iz definicije sledi, da je 6 stopnja polinoma − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 in torej prvotna vrednost.

Odgovori: 6 .

Koeficienti polinomskih členov

Opredelitev 9

Če so vsi členi polinoma monomi standardne oblike, potem imajo v tem primeru ime koeficienti polinomskih členov. Z drugimi besedami, lahko jih imenujemo koeficienti polinoma.

Ob upoštevanju primera je jasno, da polinom oblike 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 vsebuje 4 polinome: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x in 7 z ustreznimi koeficienti 2, − 0, 5, 3 in 7. To pomeni, da se 2, − 0, 5, 3 in 7 štejejo za koeficiente členov danega polinoma oblike 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Pri pretvorbi je pomembno, da smo pozorni na koeficiente pred spremenljivkami.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Polinom v spremenljivki x je izraz oblike anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, kjer je n naravno število; an, an-1,..., a1, a0- poljubna števila, imenovana koeficienti tega polinoma. Izrazi anxn, an-1xn-1,..., a1x, a0 imenujemo člani polinoma, a0- brezplačen član.

Pogosto bomo uporabljali naslednje izraze: an- koeficient pri xn, an-1- koeficient pri xn-1 itd.

Primeri polinomov so naslednji izrazi: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Tu so za prvi polinom koeficienti števila 0, 2, - 3, 3/7, ; v tem primeru je na primer število 2 koeficient x3 in je prosti člen.

Polinom, katerega vsi koeficienti so nič, se imenuje nič.

Tako je na primer polinom 0x2+0x+0 enak nič.

Iz zapisa polinoma je razvidno, da je sestavljen iz več členov. Od tod izvira izraz ‹‹polinom›› (številni členi). Včasih se polinom imenuje polinom. Ta izraz izhaja iz grških besed???? - veliko in???? - član.

Polinom v eni spremenljivki X ga bomo označili takole: f (x), g (x), h (x) itd. na primer, če je prvi od zgornjih polinomov označen s f (x), potem lahko zapišemo: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.

Da bi bil zapis polinomov enostavnejši in kompaktnejši, smo se dogovorili za številne konvencije.

Tistih členov neničelnega polinoma, katerih koeficienti so enaki nič, ne zapišemo. Na primer, namesto f (x) =0x3+3x2+0x+5 pišejo: f (x) =3x2+5; namesto g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Tako je vsako število tudi polinom. Polinom h (x), pri katerem so vsi koeficienti enaki nič, tj. ničelni polinom je zapisan takole: h (x) =0 .

Prav tako niso zapisani koeficienti polinoma, ki niso prosti členi in so enaki 1. Na primer, polinom f (x) =2x3+1x2+7x+1 lahko zapišemo takole: f (x) =x3+x2+7x+1.

Predznak ‹‹-›› negativnega koeficienta je pripisan členu, ki vsebuje ta koeficient, tj. na primer polinom f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) zapišemo kot f (x ) =2x3 -3x2+7x-5. Poleg tega, če je koeficient, ki ni prosti izraz, enak - 1, potem se znak "-" ohrani pred ustreznim izrazom in enota ni zapisana. Na primer, če ima polinom obliko f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), potem ga lahko zapišemo takole: f (x) =x3-x2+3x-1.

Lahko se pojavi vprašanje: zakaj bi se na primer strinjali, da v zapisu polinoma 1x zamenjamo z x, če vemo, da je 1x = x za poljubno število x? Bistvo je, da zadnja enakost velja, če je x število. V našem primeru je x element poljubne narave. Še več, vnosa 1x še nimamo pravice obravnavati kot zmnožek števila 1 in elementa x, ker ponavljamo, x ni število. Ravno ta okoliščina je vzrok za konvencije pri zapisu polinoma. In če še naprej govorimo o produktu, na primer, 2 in x brez kakršnega koli razloga, potem priznavamo nekaj pomanjkanja strogosti.

Zaradi dogovorov pri pisanju polinoma smo pozorni na to podrobnost. Če obstaja na primer polinom f (x) = 3x3-2x2-x+2, potem so njegovi koeficienti števila 3, - 2, - 1,2. Seveda bi lahko rekli, da so koeficienti števila 0, 3, - 2, - 1, 2, kar pomeni to predstavitev tega polinoma: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.

V prihodnje bomo zaradi določnosti navedli koeficiente, začenši z neničelnimi, v vrstnem redu, kot se pojavljajo v zapisu polinoma. Tako so koeficienti polinoma f (x) = 2x5-x števila 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Dejstvo je, da čeprav na primer v zapisu ni izraza z x2, to pomeni le, da je njegov koeficient enak nič. Podobno v vnosu ni prostega izraza, saj je enak nič.

Če obstaja polinom f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 in an?0, potem se število n imenuje stopnja polinoma f (x) (ali pravijo: f (x) je n-ta stopnja) in je zapisano stopinj f (x) =n. V tem primeru se an imenuje vodilni koeficient, anxn pa je vodilni člen tega polinoma.

Na primer, če je f (x) =5x4-2x+3, potem je deg f (x) =4, vodilni koeficient je 5, vodilni člen je 5x4.

Oglejmo si sedaj polinom f (x) =a, kjer je a neničelno število. Kakšna je stopnja tega polinoma? Preprosto je videti, da so koeficienti polinoma f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 oštevilčeno od desne proti levi s številkami 0, 1, 2, ..., n-1, n in če je ?0, potem stopinj f (x) =n. To pomeni, da je stopnja polinoma največje od števil njegovih koeficientov, ki so različni od nič (z oštevilčenjem, ki je bilo pravkar omenjeno). Vrnimo se zdaj k polinomu f (x) =a, a?0, in njegove koeficiente oštevilčite od desne proti levi s številkami 0, 1, 2, ... koeficient a bo dobil številko 0, in ker so vsi ostali koeficienti enaki nič, je to največje število koeficientov tega polinom, ki ni nič. Torej umetnost. f (x) =0.

Polinomi stopnje nič so torej števila, ki niso nič.

Še vedno je treba ugotoviti, kakšna je situacija s stopnjo ničelnega polinoma. Kot je znano, so vsi njegovi koeficienti enaki nič, zato zgornje definicije ni mogoče uporabiti zanj. Torej smo se dogovorili, da ničelnemu polinomu ne pripišemo nobene stopnje, tj. da nima diplome. To konvencijo povzročajo nekatere okoliščine, o katerih bomo razpravljali malo kasneje.

Torej ničelni polinom nima stopnje; polinom f (x) =a, kjer je a neničelno število in ima stopnjo 0; stopnja katerega koli drugega polinoma, kot je lahko videti, je enaka največjemu eksponentu spremenljivke x, katere koeficient je enak nič.

Za konec spomnimo še na nekaj definicij. Polinom druge stopnje f (x) =ax2+bx+ c imenujemo kvadratni trinom. Polinom prve stopnje oblike g (x) =x+c imenujemo linearni binom.