Art. 201. Tryb stosowania odliczeń podatkowych 1. Odliczenia, o którym mowa w art. 200 ust. 1–4 niniejszego Kodeksu, dokonuje się na podstawie dokumentów rozliczeniowych oraz faktur wystawianych przez sprzedawców przy nabywaniu przez podatnika wyrobów akcyzowych

Pełny system odliczeń. Dany system odliczeń. Najpopularniejsze systemy dedukcji to: najmniej dodatni, najmniej nieujemny, absolutnie najmniejszy itp.

Twierdzenie 1. Właściwości kompletnego i zredukowanego układu pozostałości.

1°.Kryterium kompletnego systemu odliczeń. Dowolny zbiór M liczby całkowite, które są parami nieporównywalne pod względem modułu M, tworzy kompletny system reszt modulo M.

2°. Jeśli liczby X 1 , X 2 , ..., x m– kompletny system odliczeń modulo M, (A, M) = 1, B jest dowolną liczbą całkowitą, to liczby topór 1 +B, topór 2 +B, ..., topór m+B również tworzą kompletny system odliczeń modulo M.

3°. Kryterium obniżonego systemu odliczeń. Dowolna kolekcja składająca się z j( M) liczby całkowite, które są parami nieporównywalne pod względem modułu M i względnie pierwszy z modułem, tworzy zredukowany układ reszt modulo M.

4°. Jeśli liczby X 1 , X 2 , ..., X J ( M) – zredukowany układ reszt modulo M, (A, M) = 1, następnie liczby topór 1 , topór 2 , ..., x J ( M) również tworzą zredukowany układ reszt modulo M.

Twierdzenie 2. Twierdzenie Eulera.

Jeśli liczby A I M zatem stosunkowo pierwszorzędny A J ( M) º 1 (mod M).

Konsekwencja.

1°. Twierdzenie Fermata. Jeśli P– liczba pierwsza i A nie jest podzielna przez P, To str–1° 1(mod P).

2°. Uogólnione twierdzenie Fermata. Jeśli P jest w takim razie liczbą pierwszą str º A(mod P) dla każdego AÎ Z .

§ 4. Rozwiązywanie porównań ze zmienną

Rozwiązywanie porównań. Równorzędność. Stopień porównania.

Twierdzenie. Właściwości rozwiązań porównań.

1°.Rozwiązaniami porównań są całe klasy reszt.

2°. („ k)(k º b k(mod M))Ù k= Þ porównanie º 0 (mod M) i º 0 (mod M) są równoważne.

3°. Jeżeli obie strony porównania pomnożymy przez liczbę względnie pierwszą do modułu, otrzymamy porównanie równoważne pierwotnemu.

4°. Dowolne porównanie modulo prime P jest równoważne porównaniu, którego stopień nie przekracza P–1.

5°. Porównanie º 0 (mod P), Gdzie P– liczba pierwsza, ma nie więcej niż N różne rozwiązania.

6°. Twierdzenie Wilsona. ( N-1)! º –1 (mod N) Û N Liczba pierwsza.

§ 5. Rozwiązywanie porównań pierwszego stopnia

topór º B(mod M).

Twierdzenie. 1°. Jeśli ( A, M) = 1, wówczas porównanie ma rozwiązanie i to unikalne.

2°. Jeśli ( A, M) = D I B nie jest podzielna przez D, to porównanie nie ma rozwiązań.

3°. Jeśli ( A, M) = D I B podzielony przez D, to porównanie ma D różne roztwory, które stanowią jedną klasę reszt modulo .

Sposoby rozwiązywania porównań topór º B(mod M) w przypadku gdy ( A, M) = 1:

1) selekcja (wybór elementów kompletnego systemu odliczeń);

2) zastosowanie twierdzenia Eulera;

3) zastosowanie algorytmu euklidesowego;

4) zmienność współczynników (wykorzystanie własności 2° pełnego układu reszt z Twierdzenia 2.2);

§ 6. Nieokreślone równania pierwszego stopnia

topór+przez = C.

Twierdzenie. Równanie topór+przez = C rozwiązywalny wtedy i tylko wtedy, gdy C (A, B).

Gdy ( A, B) = 1 wszystkie rozwiązania równania wynikają ze wzorów

TÎ Z , Gdzie X 0 to rozwiązanie porównawcze

topór º C(mod B), y 0 = .

Równania diofantyczne.

ROZDZIAŁ 10. Liczby zespolone

Definicja systemu liczb zespolonych. Istnienie systemu liczb zespolonych

Definicja systemu liczb zespolonych.

Twierdzenie. Istnieje system liczb zespolonych.

Model: R 2 z operacjami

(A, B)+(C, D) = (A+C, B+D), (A, B)×( C, D) = (AC–bd, pne+ogłoszenie),

I= (0, 1) i identyfikacja A = (A, 0).

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Reprezentacja liczby zespolonej jako z = A+bi, Gdzie A, BÎ R , I 2 = –1. Wyjątkowość takiego przedstawienia. Odnośnie z Jestem z.

Zasady wykonywania działań arytmetycznych na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej.

Arytmetyka N-wymiarowa przestrzeń wektorowa C N. Układy równań liniowych, macierze i wyznaczniki powyżej C .

Wyodrębnianie pierwiastków kwadratowych liczb zespolonych w postaci algebraicznej.

Praca dyplomowa

2.5.2 Odliczenia. Kompletne i zredukowane systemy odliczeń

Równe liczby resztkowe lub, co to jest to samo, porównywalne modulo m, tworzą klasę liczb modulo m.

Z tej definicji wynika, że ​​wszystkie liczby w klasie odpowiadają tej samej reszcie r i otrzymamy wszystkie liczby w klasie, jeśli w postaci mq + r sprawimy, że q przejdzie przez wszystkie liczby całkowite.

Odpowiadając m różnym wartościom r, mamy m klas liczb modulo m.

Dowolną liczbę należącą do klasy nazywamy resztą modulo m w odniesieniu do wszystkich liczb tej samej klasy. Pozostałość otrzymaną przy q = 0, równą samej reszcie r, nazywa się najmniejszą resztą nieujemną.

Biorąc po jednym odliczeniu z każdej klasy, otrzymujemy kompletny system odliczeń modulo m. Najczęściej jako kompletny układ reszt stosuje się najmniejsze reszty nieujemne 0, 1, ..., m-1 lub też reszty absolutnie najmniejsze. Te ostatnie, jak wynika z powyższego, w przypadku nieparzystego m są reprezentowane przez szereg

1, 0, 1, ...,

a w przypadku parzystego m, przez którykolwiek z dwóch szeregów

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Dowolne m liczby, które są nieporównywalne parami modulo m, tworzą kompletny system reszt modulo m.

Rzeczywiście, ponieważ są one nieporównywalne, liczby te należą zatem do różnych klas, a ponieważ jest ich m, tj. tyle, ile jest klas, wówczas każda klasa będzie prawdopodobnie zawierać jedną liczbę.

Jeśli (a, m) = 1 i x przebiegają przez kompletny system reszt modulo m, to ax + b, gdzie b jest dowolną liczbą całkowitą, również przechodzi przez kompletny system reszt modulo m.

Rzeczywiście będzie tyle liczb ax + b, ile jest liczb x, tj. M. Zgodnie z poprzednim stwierdzeniem pozostaje więc tylko wykazać, że dowolne dwie liczby ax 1 + b i ax 2 + b, odpowiadające nieporównywalnym x 1 i x 2, same będą nieporównywalne modulo m.

Ale zakładając, że ax 1 + b ax 2 + b (mod m), dochodzimy do porównania ax 1 = ax 2 (mod m), z którego ze względu na (a, m) = 1 otrzymujemy

x 1 x 2 (mod m),

co przeczy założeniu, że liczby x 1 i x 2 są nieporównywalne.

Liczby tej samej klasy modulo m mają ten sam największy wspólny dzielnik. Szczególnie ważne są klasy, dla których dzielnik ten jest równy jeden, tj. klasy zawierające liczby względnie pierwsze do modułu.

Biorąc po jednej reszcie z każdej takiej klasy, otrzymujemy zredukowany układ reszt modulo m. Dany układ reszt może zatem składać się z liczb całego układu, które są względnie pierwsze do modułu. Zwykle dany układ reszt jest izolowany od układu najmniejszych reszt nieujemnych: 0, 1, ..., m-1. Ponieważ wśród tych liczb liczba względnie pierwsza do m wynosi (m), to liczba liczb w systemie zredukowanym, a także liczba klas zawierających liczby względnie pierwsze do modułu wynosi (m).

Przykład. Dany system odliczeń modulo 42 będzie wynosił 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Dowolne (m) liczby, które są nieporównywalne parami modulo m i są względnie pierwsze do modułu, tworzą zredukowany układ reszt modulo m.

Rzeczywiście, będąc nieporównywalnymi i względnie pierwszymi do modułu, liczby te należą zatem do różnych klas zawierających liczby względnie pierwsze do modułu, a ponieważ jest ich (m), tj. tyle, ile jest klas danego typu, to każda klasa będzie prawdopodobnie zawierać jedną liczbę.

Jeśli (a, m) = 1 i x przebiega przez zredukowany układ reszt modulo m, to ax również przechodzi przez zredukowany układ reszt modulo m.

Rzeczywiście będzie tyle liczb ax, ile jest liczb x, tj. (M). Zgodnie z poprzednią własnością pozostaje zatem tylko wykazać, że liczby ax modulo m są nieporównywalne i względnie pierwsze modulo. Pierwsze wynika z własności porównań (jeśli porównanie odbywa się modulo m, to zachodzi także modulo d, równe dowolnemu dzielnikowi liczby m) dla liczb w postaci bardziej ogólnej ax + b, natomiast drugie wynika z (a, m) = 1, (x, m) = 1.

Algebraiczne zadanie wartości własnej macierzy specjalnej postaci i jego oprogramowanie

Stawiając problem wartości własnych macierzy, których elementy podano w przybliżeniu, naturalnie pojawia się pytanie o stabilność otrzymanego rozwiązania, czyli innymi słowy pytanie o...

Baza danych MS Access

Oprogramowanie baz danych jest używane na komputerach osobistych już od dłuższego czasu. Niestety, programy te albo były podstawowymi narzędziami do zarządzania pamięcią masową i nie posiadały narzędzi do tworzenia aplikacji...

Defragmentator systemu plików

Jedną z pierwszych zastosowanych metod była pełna defragmentacja lub defragmentacja wolnego miejsca. Ta metoda defragmentuje wszystkie pliki i umieszcza je na początku partycji, co pozwala zwolnić maksymalną możliwą wolną przestrzeń na dysku...

Modelowanie komputerowe urządzeń robotyki

W pracy na tym kursie konieczne jest zbadanie modelowania urządzeń robotyki przy użyciu następujących metod: 1. Wykorzystanie systemu MathCAD - badanie zachowania jednego ogniwa robota...

Metody i środki ochrony informacji komputerowych

Szyfrowanie za pomocą algorytmu Rijndael realizowane jest w postaci poniższego pseudokodu. Argumenty są traktowane jako wskaźniki do pól bajtowych lub czterobajtowych. Interpretację pól, zmiennych i funkcji podano w tabelach 11-13...

Opis realizacji podstawowego modelu obwodu elektrycznego

W ramach zajęć należy wykonać: 1. Korzystając z systemu MathCAD obliczyć wartości funkcji ładunku na kondensatorze w zadanym obwodzie elektrycznym. Narysuj wykresy funkcji pojemności kondensatora i funkcji ładunku. 2...

Aplikacje Windows: Edytor grafiki Paint

Klikając dwukrotnie komórkę palety, możesz wybrać dla niej kolor z pełnej palety kolorów...

Zastosowanie komputerowych systemów modelowania do badania modelu matematycznego obwodu RLC

Zastosowanie systemów Mathcad i Matlab do badania modelu matematycznego modelu elektrycznego uwzględniającego źródło pola elektromagnetycznego, rezystancję R, pojemność C i cewkę indukcyjną L. Pełne przedstawienie problemu: 1. Wykorzystanie systemu Mathcad 1...

Zastosowanie systemu MathCAD do badania modelu obwodu elektrycznego o zmiennej indukcyjności

Zastosowanie systemu MathCAD do badania modelu obwodu elektrycznego o zmiennej indukcyjności określonej graficznie. Opis problemu: 1...

Zastosowanie systemu MathCAD do badania reakcji obwodu elektrycznego na wpływy zewnętrzne

Zastosowanie systemu Mathcad do badania reakcji obwodu elektrycznego na wpływ zewnętrzny. Opis problemu 1. Korzystając z systemu Mathcad, oblicz wartości funkcji reakcji u(t) na wpływ e(t). Narysuj wykresy funkcji u(t) i e(t). 2...

Program do rozwiązywania układu równań różniczkowych zwyczajnych

Opracowanie algorytmu i programu w Pascalu do obliczania zadanej funkcji

Napiszmy kompletny program w Pascalu zgodnie z opracowanym algorytmem, który podano w Załączniku A. Program n_33; var m, n, j: liczba całkowita; b, an, mult, h: rzeczywisty; x: tablica liczb rzeczywistych; y: tablica liczb rzeczywistych; c: tablica liczb rzeczywistych; gd,gm,n,m,i,j:liczba całkowita; s,b,srk,min,max,y1:rzeczywisty; Rozpocznij clrscr; writeln (vvedite kol-vo chlenov c,x); czytaj(n...

Synteza algorytmów skoordynowanego sterowania ruchem przestrzennym bezzałogowego statku powietrznego

Wiadomo, że jednym z głównych punktów przy sporządzaniu lub opracowywaniu modelu matematycznego statku powietrznego jest przyjęcie różnych założeń upraszczających i schematyzujących rzeczywisty proces. Przyjmowanie założeń to zadanie inżynieryjne, począwszy od prawidłowego...

Zarządzanie projektem wdrożenia zautomatyzowanego systemu informatycznego dla Rome LLC

Automatyczny system sterowania jako system składa się z dużej liczby elementów o różnym poziomie i przeznaczeniu. Należą do nich podsystemy, moduły, jednostki sterujące, zadania, procedury zarządzania, funkcje, operacje itp. Podstawowe systemy, takie jak ERP...

Zgodnie z właściwością porównań nr 15, liczby tej samej klasy modulo M mam z modułem M ten sam GCD. Szczególnie ważne są klasy, dla których jest ona równa 1.

Biorąc po jednej liczbie z każdej z tych klas, otrzymujemy obniżony system odliczeń modulo M. Zwykle jest izolowany z układu najmniejszych nieujemnych reszt modulo M.

Zredukowany układ najmniejszych nieujemnych reszt modulo M oznaczony przez U M.

Liczba liczb w danym systemie reszt modulo M, oczywiście równa się φ( M).

Przykład:

Dany system odliczeń modulo 15 to (1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14). Zauważmy, że φ(15)=(5–1)∙(3–1)= 8 i rzeczywiście w danym układzie reszt modulo 15 jest dokładnie 8 elementów.

Oświadczenie 1

Dowolne φ( M) liczby, które są parami nieporównywalne pod względem modułu M i wzajemnie pierwsze z M, tworzą zredukowany układ pozostałości.

(Dowód jest oczywisty jak w stwierdzeniu 1, punkt 2)

Oświadczenie 2

Jeśli ( A, M) = 1, X przebiega przez zredukowany układ reszt modulo M, To topór przebiega również przez zredukowany układ reszt modulo M. (Dowód jest oczywisty jak w twierdzeniu 2, punkt 2).

Element odwrotny.

Mówią, że element B zwany odwracać Do A modulo M, Jeśli a∙b≡1 (mod M), i napisz B ≡ A–1 (mod M).

Ogólnie rzecz biorąc, klasyczna teoria liczb nie potrzebuje takiego pojęcia jak element odwrotny, co można zobaczyć czytając np. . Jednak kryptologia wykorzystuje systemy resztowe zarówno w aspekcie liczbowym, jak i algebraicznym, dlatego też dla wygody przedstawienia algebraicznych podstaw kryptologii wprowadzamy pojęcie elementu odwrotnego.

Powstaje pytanie: czy dotyczy to wszystkich elementów tego modułu? M istnieje odwrotność (przez mnożenie), a jeśli dla niektórych elementów istnieje odwrotność, jak ją znaleźć?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, skorzystamy z rozszerzonego algorytmu Euklidesa. Rozważmy najpierw liczby względnie pierwsze A i moduł M. Wtedy oczywiście ( A,M)=1. Rozszerzony algorytm euklidesowy pozwala uzyskać liczby X I y, takie że topór+mój=(A,M) lub, co jest takie samo, topór + mój=1. Z ostatniego wyrażenia otrzymujemy porównanie topór + mój≡1 (mod M). Ponieważ Mój≡0 (mod M), To topór≡1 (mod M), co oznacza liczbę uzyskaną za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa X jest dokładnie żądanym elementem odwrotnym do liczby A modulo M.

Przykład.

A=5, M=7. Trzeba znaleźć A-1 mod M.

Skorzystajmy z rozszerzonego algorytmu Euklidesa.

Odwracać:

1=5–2∙2=5–(7–5∙1)∙2=5∙3–7∙2.

X=3, y=–2.

5 -1 ≡3 (mod 7)

Sprawdź: 5∙3=15. 15≡1 (mod 7).

Rzeczywiście, 3 jest odwrotnością 5 modulo 7.

Zatem konstruktywnie sprawdziliśmy, że dla liczb względnie pierwszych do modułu istnieje odwrotność tego modułu. Czy istnieją elementy odwrotne dla liczb, które nie są względnie pierwsze do ich modułu?

Pozwalać ( A,M)=D≠1. Wtedy a i m można przedstawić w postaci A=D∙A 1 , M=D∙M 1. Załóżmy, że dla a istnieje element odwrotny modulo m, tj B: A∙B≡1 (mod M). Następnie A∙b= m∙k+1. Albo, co jest takie samo, D∙A 1 ∙b=d∙M 1 ∙k+1. Ale wtedy, zgodnie z Twierdzeniem 2 z §1 p.1, z uwagi na fakt, że zarówno lewa strona tego równania, jak i pierwszy wyraz po prawej stronie są podzielone na D, To D\1, ale to nieprawda, ponieważ D≠1. Doszliśmy do sprzeczności, dlatego założenie o istnieniu elementu odwrotnego jest błędne.

W poprzednim akapicie zauważono, że stosunek  M porównywalność modulo dowolna M jest relacją równoważności na zbiorze liczb całkowitych. Ta relacja równoważności powoduje podział zbioru liczb całkowitych na klasy elementów sobie równoważnych, tj. liczby, które po podzieleniu przez M identyczne salda. Liczba klas równoważności  M(eksperci powiedzą - „wskaźnik równoważności  M") jest dokładnie równe M.

Definicja. Dowolna liczba z klasy równoważności  M nazwiemy to resztą modulo M. Zbiór odliczeń po jednym z każdej klasy równoważności  M, nazywany jest kompletnym układem reszt modulo M(w pełnym systemie odliczeń jest więc tylko m liczb). Same reszty przy dzieleniu przez M nazywane są najmniejszymi resztami nieujemnymi i oczywiście tworzą kompletny system reszt modulo M. Odliczenie ρ nazywa się absolutnie najmniejszym, jeśli ⎪ ρ ⎪ najmniejszy spośród pozostałych modułów tej klasy.

Przykład: Pozwalać M= 5. Następnie:

0, 1, 2, 3, 4 - najmniejsze reszty nieujemne;

2, -1, 0, 1, 2 to absolutnie najmniejsze dedukcje.

Oba podane zbiory liczb tworzą kompletne systemy reszt modulo 5.

Lemat 1. 1) Dowolny M części, które nie są porównywalne pod względem modułu M liczby tworzą kompletny system reszt modulo M.

2) Jeśli A I M są stosunkowo proste i X przebiega przez cały system reszt modulo M, następnie wartości postaci liniowej AX + B, Gdzie B– dowolna liczba całkowita, również przechodząca przez pełny układ reszt modulo M.

Dowód. Stwierdzenie 1) jest oczywiste. Udowodnijmy stwierdzenie 2) Liczby AX+B gładki M rzeczy. Pokażmy, że nie są one porównywalne pod względem modułu M. Cóż, niech to będzie dla kogoś innego X 1 i X 2 z pełnego systemu odliczeń okazało się, że topór 1 + B ≡ topór 2 + B(mod m). Następnie, zgodnie z właściwościami porównań z poprzedniego akapitu, otrzymujemy:

topór 1 ≡ topór 2 (mod M)

X 1 ≡ X 2 (mod M)

- sprzeczność z faktem, że X 1 i X 2 są różne i pochodzą z pełnego systemu odliczeń.

Ponieważ wszystkie liczby z danej klasy równoważności  M uzyskuje się z jednej liczby danej klasy poprzez dodanie liczby będącej wielokrotnością M, to wszystkie liczby z tej klasy mają moduł M ten sam największy wspólny dzielnik. Z pewnych powodów większym zainteresowaniem cieszą się te odliczenia, które posiadają moduł M największy wspólny dzielnik równy jeden, tj. reszty względnie pierwsze do modułu.

Definicja. Zredukowany system odliczeń modulo M jest zbiorem wszystkich reszt całego układu, które są względnie pierwsze do modułu M.

Zredukowany układ jest zwykle wybierany spośród najmniejszych reszt nieujemnych. Oczywiste jest, że dany układ reszt modulo M zawiera ϕ (M) kawałki odliczeń, gdzie ϕ (M) – funkcja Eulera – liczba liczb mniejszych niż M i wzajemnie pierwsze z M.

Funkcja Eulera.

Funkcja Eulera ϕ (A) to liczba liczb z ciągu 0, 1, 2,..., A–1, porównaj z A.

Lemat. Pozwalać

T
Kiedy:

w szczególności φ( P α) = P α – Pα -1 , φ( P) = P–1.

Przykład. Pozwalać M= 42. Wtedy dany układ reszt to:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lemat 2. 1) Dowolny ϕ (M) liczby, które są parami nieporównywalne pod względem modułu M i porównaj z modułem, tworzą zredukowany układ reszt modulo M.

2) Jeśli D(A, M) = 1 i X przebiega przez zredukowany układ reszt modulo M, To AX przebiega również przez zredukowany układ reszt modulo M.

Dowód. Stwierdzenie 1) jest oczywiste. Udowodnimy stwierdzenie 2). Liczby AX są nieporównywalne parami (dowodzi się to w ten sam sposób, jak w Lemacie 1 tego akapitu), istnieją dokładnie ϕ (M) rzeczy. Oczywiste jest również, że wszystkie z nich są względnie pierwsze pod względem modułu, ponieważ D(A, M)=1, D(X,M)=1 ⇒ D(topór, M)=1. A więc liczby AX tworzą zredukowany układ pozostałości.

Lemat 3. Pozwalać M 1 , M 2 , ..., M k – są parami względnie pierwsze i M 1 M 2 ...M k =M 1 M 1 =M 2 M 2 =...=M k M k , Gdzie M J = m 1 ...M J -1 m J +1...m k

1) Jeśli X 1 , X 2 , ..., X k przebiegać przez kompletne systemy reszt modulo M 1 , M 2 , ..., M k M 1 X 1 +M 2 X 2 + ...+M k X k przejść przez cały system odliczeń modulo m = m 1 M 2 ...M k .

2) Jeśli ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k przechodzić przez systemy o zredukowanej pozostałości modulo M 1 , M 2 , ..., M k odpowiednio, to wartości postaci liniowej M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k przebiegają przez zredukowany układ reszt modulo m = m 1 M 2 ...M k .

Lemat 4. Pozwalać X 1 , X 2 , ..., X k , X działać całkowicie, i ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – przebiegają przez zredukowane układy reszt modulo M 1 , M 2 ,...,M k I m=m 1 M 2 ...M k odpowiednio, gdzie (M I M J )=1 Na I≠ J. Następnie ułamki (X 1 /M 1 +x 2 /M 2 +...+x k /M k } pokrywają się z ułamkami (x/m) i ułamki { ξ 1 /M 1 + ξ 2 /M 2 +...+ ξ k /M k } pokrywają się z ułamkami { ξ /M).

Oznaczmy przez ε k k korzeń M- och, siła jedności:

Tutaj k=0,1,...,M-1 – przebiega przez cały układ reszt modulo M.

Przypomnę, że suma ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 wszystkie korzenie M dla każdego, th potęga jedności jest równa zeru M. Rzeczywiście, niech ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = za. Pomnóż tę kwotę przez liczbę niezerową ε 1. Takie mnożenie geometrycznie w płaszczyźnie zespolonej oznacza obrócenie prawidłowej M-gon, na wierzchołkach których znajdują się pierwiastki ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1, pod kątem niezerowym 2 π /M. Jest oczywiste, że w tym przypadku pierwiastek ε 0 idzie do pierwiastka ε 1 , pierwiastek ε 1 idzie do pierwiastka ε 2 itd. oraz pierwiastek ε m-1 idzie do pierwiastka ε 0 , tj. suma ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 Nie zmieni się. Mamy ε 1 a=a, Gdzie a=0.

Twierdzenie 1. Pozwalać m>0– liczba całkowita, A Z, X przebiega przez cały system reszt modulo M. A następnie, jeśli A wiele M, To

inaczej, kiedy A nie wielokrotność M,

Twierdzenie 2. Pozwalać m>0 jest liczbą całkowitą, ξ przebiega przez zredukowany modulo układ reszt M. Następnie (suma pierwiastków pierwotnych stopnia M):

gdzie µ( M) – funkcja Möbiusa.