W ten sam sposób, jak dla jednego punktu materialnego, wyprowadzimy twierdzenie o zmianie pędu układu w różnych postaciach.

Przekształćmy równanie (twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego)

w następujący sposób:

;

;

Otrzymane równanie wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci różniczkowej: pochodna pędu układu mechanicznego po czasie jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na układ .

W rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich:

; ; .

Biorąc całki obu stron ostatnich równań w czasie, otrzymujemy twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci całkowej: zmiana pędu układu mechanicznego jest równa pędowi wektora głównego układu mechanicznego siły zewnętrzne działające na układ .

.

Lub w rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich:

; ; .

Wnioski z twierdzenia (prawa zachowania pędu)

Prawo zachowania pędu otrzymuje się jako szczególne przypadki twierdzenia o zmianie pędu układu w zależności od charakterystyki układu sił zewnętrznych. Siły wewnętrzne mogą być dowolne, ponieważ nie wpływają na zmiany pędu.

Istnieją dwa możliwe przypadki:

1. Jeżeli suma wektorów wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do układu jest równa zeru, wówczas wielkość ruchu układu jest stała pod względem wielkości i kierunku

2. Jeżeli rzut wektora głównego sił zewnętrznych na dowolną oś współrzędnych i/lub i/lub jest równy zeru, to rzut pędu na te same osie ma wartość stałą, tj. i/lub i/lub odpowiednio.

Podobne wpisy można dokonać dla punktu materialnego i dla punktu materialnego.

Zadanie. Z pistoletu, którego masa M, pocisk o masie wylatuje w kierunku poziomym M z szybkością w. Znajdź prędkość V pistolety po strzale.

Rozwiązanie. Wszystkie siły zewnętrzne działające na mechaniczny układ broń-pocisk mają charakter pionowy. Oznacza to, że bazując na następstwie twierdzenia o zmianie pędu układu, mamy: .

Wielkość ruchu układu mechanicznego przed odpaleniem:

Wielkość ruchu układu mechanicznego po strzale:

.

Porównując prawe strony wyrażeń, otrzymujemy to

.

Znak „-” w otrzymanym wzorze wskazuje, że po oddaniu strzału działo cofnie się w kierunku przeciwnym do osi Wół.

PRZYKŁAD 2. Strumień cieczy o gęstości wypływa z prędkością V z rury o polu przekroju poprzecznego F i uderza pod kątem w pionową ściankę. Wyznacz ciśnienie płynu na ścianę.

ROZWIĄZANIE. Zastosujmy twierdzenie o zmianie pędu w postaci całkowej do objętości cieczy o masie M uderzanie w ścianę przez pewien czas T.

RÓWNANIE MESHCHERSKIEGO

(podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie)

We współczesnej technologii zdarzają się przypadki, gdy masa punktu i układu nie pozostaje stała podczas ruchu, ale się zmienia. I tak np. podczas lotu rakiet kosmicznych, na skutek wyrzucenia produktów spalania i poszczególnych, niepotrzebnych części rakiety, zmiana masy osiąga 90-95% całkowitej wartości początkowej. Ale nie tylko technologia kosmiczna może być przykładem dynamiki zmiennego ruchu mas. W przemyśle tekstylnym przy nowoczesnych prędkościach roboczych maszyn i maszyn zachodzą znaczne zmiany w masie różnych wrzecion, szpul i rolek.

Rozważmy główne cechy związane ze zmianami masy na przykładzie ruchu postępowego ciała o zmiennej masie. Podstawowej zasady dynamiki nie można bezpośrednio zastosować do ciała o zmiennej masie. Otrzymujemy zatem różniczkowe równania ruchu punktu o zmiennej masie, stosując twierdzenie o zmianie pędu układu.

Niech punkt będzie miał masę m+dm porusza się z dużą prędkością. Następnie od punktu oddziela się pewną cząstkę o masie dm poruszać się z dużą prędkością.

Wielkość ruchu ciała przed oderwaniem się cząstki:

Wielkość ruchu układu składającego się z ciała i oderwanej cząstki po jego oddzieleniu:

Następnie zmiana pędu:

Na podstawie twierdzenia o zmianie pędu układu:

Oznaczmy wielkość - prędkość względną cząstki:

Oznaczmy

Rozmiar R zwaną siłą reakcji. Siła reakcji to ciąg silnika wywołany wyrzutem gazu z dyszy.

Wreszcie dostajemy

-

Wzór ten wyraża podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie (wzór Meshchersky'ego). Z ostatniego wzoru wynika, że ​​równania różniczkowe ruchu punktu o zmiennej masie mają taką samą postać jak dla punktu o stałej masie, z wyjątkiem dodatkowej siły reakcji przyłożonej do punktu na skutek zmiany masy.

Podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie wskazuje, że przyspieszenie tego ciała powstaje nie tylko pod wpływem sił zewnętrznych, ale także pod wpływem siły reakcji.

Siła reakcji to siła zbliżona do odczuwanej przez osobę strzelającą - przy strzelaniu z pistoletu wyczuwalna jest ona w dłoni; Strzelając z karabinu, jest on postrzegany przez ramię.

Pierwszy wzór Ciołkowskiego (na rakietę jednostopniową)

Niech punkt o zmiennej masie lub rakieta porusza się po linii prostej pod wpływem tylko jednej siły reakcji. Ponieważ w przypadku wielu nowoczesnych silników odrzutowych, gdzie jest maksymalna siła reakcji (ciąg silnika) dozwolona przez konstrukcję silnika; - siła ciężkości działająca na silnik umieszczony na powierzchni ziemi. Te. powyższe pozwala pominąć składnik równania Meshchersky'ego i przyjąć to równanie w postaci do dalszej analizy: ,

Oznaczmy:

Rezerwa paliwa (dla silników odrzutowych na ciecz - sucha masa rakiety (jej masa pozostała po spaleniu całego paliwa);

Masa cząstek oddzielonych od rakiety; jest uważany za wartość zmienną, wahającą się od do .

Zapiszmy równanie ruchu prostoliniowego punktu o zmiennej masie w postaci:

Ponieważ wzór na określenie zmiennej masy rakiety wynosi

Dlatego równania ruchu punktu Biorąc całki po obu stronach, otrzymujemy

Gdzie - charakterystyczna prędkość- jest to prędkość, jaką osiąga rakieta pod wpływem ciągu po wyrzuceniu z rakiety wszystkich cząstek (w przypadku silników odrzutowych na ciecz - po wypaleniu całego paliwa).

Poza znakiem całki (co można zrobić na podstawie znanego z wyższej matematyki twierdzenia o wartości średniej) znajduje się średnia prędkość cząstek wyrzucanych z rakiety.

Wielkość ruchu punktu materialnego nazywana wielkością wektorową mV, równy iloczynowi masy punktu i jego wektora prędkości. Wektor mV zastosowany do ruchomego punktu.

Ilość ruchu systemu nazywana wielkością wektorową Q, równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) wielkości ruchu wszystkich punktów układu:

Wektor Q jest wektorem swobodnym. W układzie jednostek SI moduł pędu mierzy się w kg m/s lub N s.

Z reguły prędkości wszystkich punktów układu są różne (patrz np. rozkład prędkości punktów toczącego się koła, pokazany na ryc. 6.21), dlatego też bezpośrednie sumowanie wektorów po prawej stronie równości (17.2) jest trudne. Znajdźmy wzór, za pomocą którego obliczymy ilość Q dużo łatwiej policzyć. Z równości (16.4) wynika, że

Biorąc pochodną czasu obu stron, otrzymujemy Zatem biorąc pod uwagę równość (17.2), stwierdzamy, że

to znaczy pęd układu jest równy iloczynowi masy całego układu i prędkości jego środka masy.

Zauważ, że wektor Q, podobnie jak główny wektor sił w statyce, jest to jakaś uogólniona wektorowa charakterystyka ruchu całego układu mechanicznego. W ogólnym przypadku ruchu układu jego pęd wynosi Q można uznać za charakterystykę translacyjnej części ruchu układu wraz z jego środkiem masy. Jeżeli podczas ruchu układu (ciała) środek masy jest nieruchomy, wówczas wielkość ruchu układu będzie równa zeru. Jest to na przykład pęd ciała obracającego się wokół stałej osi przechodzącej przez jego środek masy.

Przykład. Określ wielkość ruchu układu mechanicznego (ryc. 17.1, A), składający się z ładunku A masa t A - 2 kg, jednorodny blok W o wadze 1 kg i kółkach D masa m D - 4 kg. Ładunek A porusza się z dużą prędkością V A - 2 m/s, koło D toczy się bez poślizgu, nić jest nierozciągliwa i nieważka. Rozwiązanie. Wielkość ruchu układu ciał

Ciało A idzie do przodu i Q ZA = m A V A(liczebnie Pytanie O= 4 kg m/s, kierunek wektorowy Pytanie O pokrywa się z kierunkiem V A). Blok W wykonuje ruch obrotowy wokół ustalonej osi przechodzącej przez jego środek masy; stąd, QB- 0. Koło D tworzy płaszczyznę równoległą

ruch; jego środek prędkości chwilowej znajduje się w punkcie DO, zatem prędkość jego środka masy (pkt MI) równy V mi = V A /2= 1 m/s. Wielkość ruchu koła Q D - m D V E - 4 kg m/s; wektor QD skierowany poziomo w lewo.

Przedstawiając wektory Pytanie O I QD na ryc. 17.1, B, znajdź wielkość ruchu Q układy według wzoru (a). Biorąc pod uwagę kierunki i wartości liczbowe wielkości, otrzymujemy Q ~^Q A +Q E=4l/2~ kg m/s, kierunek wektorowy Q pokazany na ryc. 17.1, B.

Biorąc pod uwagę, że a-dV/dt, równanie (13.4) podstawowej zasady dynamiki można przedstawić jako

Równanie (17.4) wyraża twierdzenie o zmianie pędu punktu w postaci różniczkowej: w każdej chwili czasu pochodna pędu punktu po czasie jest równa sile działającej na punkt. (W zasadzie jest to inne sformułowanie podstawowej zasady dynamiki, zbliżone do podanego przez Newtona.) Jeżeli na punkt działa kilka sił, to po prawej stronie równości (17.4) będzie wypadkowa przyłożonych sił do punktu materialnego.

Jeśli obie strony równości zostaną pomnożone przez dt, wtedy otrzymamy

Wielkość wektorowa po prawej stronie tej równości charakteryzuje działanie wywierane na ciało przez siłę w elementarnym okresie czasu dt ta wartość jest oznaczona dS i zadzwoń elementarny impuls siły, tj.

Puls S wytrzymałość F przez skończony okres czasu /, - / 0 definiuje się jako granicę sumy całkowej odpowiednich impulsów elementarnych, tj.

W szczególnym przypadku, jeśli siła F jest wówczas stała pod względem wielkości i kierunku S = F(t| -/0) i S- F(t l -/ 0). W ogólnym przypadku wielkość impulsu siły można obliczyć z jego rzutów na osie współrzędnych:

Teraz całkując obie strony równości (17.5) z T= const, otrzymujemy

Równanie (17.9) wyraża twierdzenie o zmianie pędu punktu w postaci skończonej (całkowej): zmiana pędu punktu w pewnym okresie czasu jest równa impulsowi siły działającej na punkt (lub impulsowi wypadkowej wszystkich sił przyłożonych do niego) w tym samym okresie czasu.

Rozwiązując problemy, używaj równań tego twierdzenia w rzutach na osie współrzędnych

Rozważmy teraz układ mechaniczny składający się z P punkty materialne. Następnie dla każdego punktu możemy zastosować twierdzenie o zmianie pędu w postaci (17.4), biorąc pod uwagę siły zewnętrzne i wewnętrzne przyłożone do punktów:

Sumując te równości i biorąc pod uwagę, że suma pochodnych jest równa pochodnej sumy, otrzymujemy

Ponieważ z natury sił wewnętrznych HF k=0 i z definicji pędu ^fn k V/ w = Q, to w końcu znajdziemy

Równanie (17.11) wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu w postaci różniczkowej: w każdym momencie pochodna czasowa pędu układu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.

Rzutując równość (17.11) na osie współrzędnych, otrzymujemy

Mnożenie obu stron (17.11) przez dt i całkując, otrzymujemy

gdzie 0, P 0 - wielkość ruchu układu w chwilach czasu odpowiednio i / 0.

Równanie (17.13) wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu w postaci całkowej: zmiana pędu układu w dowolnym czasie jest równa sumie impulsów wszystkich sił zewnętrznych działających na układ w tym samym czasie.

W rzutach na osie współrzędnych otrzymujemy

Z twierdzenia o zmianie pędu układu można uzyskać następujące ważne konsekwencje, które wyrażają się prawo zachowania pędu układu.

• 1. Jeżeli suma geometryczna wszystkich sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero (LF k=0), to z równania (17.11) wynika, że ​​w tym przypadku Q= const, tj. wektor pędu układu będzie stały pod względem wielkości i kierunku.
• 2. Jeżeli siły zewnętrzne działające na układ są takie, że suma ich rzutów na dowolną oś wynosi zero (np. Ja i kx = 0), to z równań (17.12) wynika, że ​​w tym przypadku Q x = const, czyli rzut pędu układu na tę oś pozostaje niezmieniony.

Należy zauważyć, że siły wewnętrzne układu nie biorą udziału w równaniu twierdzenia o zmianie pędu układu. Siły te, choć wpływają na pęd poszczególnych punktów układu, nie mogą zmienić pędu układu jako całości. Biorąc tę ​​okoliczność pod uwagę przy rozwiązywaniu problemów, zaleca się wybór rozważanego układu w taki sposób, aby nieznane siły (wszystkie lub część z nich) miały charakter wewnętrzny.

Prawo zachowania pędu jest wygodne do zastosowania w przypadkach, gdy zmieniając prędkość jednej części układu, konieczne jest określenie prędkości jego drugiej części.

Zadanie 17.1. DO ważenie wózka tx- 12 kg poruszających się w jednym punkcie po gładkiej poziomej płaszczyźnie A nieważki pręt jest przymocowany za pomocą cylindrycznego zawiasu OGŁOSZENIE długość /= 0,6 m z obciążeniem D masa t 2 - Na koniec 6 kg (ryc. 17.2). W momencie / 0 = 0, gdy prędkość wózka I () - 0,5 m/s, pręt OGŁOSZENIE zaczyna się obracać wokół osi A, prostopadle do płaszczyzny rysunku, zgodnie z prawem φ = (tg/6)(3^2 - 1) rad (/-in sekund). Definiować: u=f.

§ 17 ust. 3. Twierdzenie o ruchu środka masy

Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego można wyrazić w innej formie, zwanej twierdzeniem o ruchu środka masy.

Podstawiając do równania (17.11) równość Q = MVC, dostajemy

Jeśli masa M system jest stały, otrzymujemy

Gdzie i z - przyspieszenie środka masy układu.

Równanie (17.15) wyraża twierdzenie o ruchu środka masy układu: iloczyn masy układu i przyspieszenia jego środka masy jest równy sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.

Rzutując równość (17.15) na osie współrzędnych, otrzymujemy

Gdzie x do , y do , z do - współrzędne środka masy układu.

Równania te są równaniami różniczkowymi ruchu środka masy w rzutach na osie kartezjańskiego układu współrzędnych.

Omówmy uzyskane wyniki. Przypomnijmy najpierw, że środkiem masy układu jest punkt geometryczny, czasem znajdujący się poza geometrycznymi granicami ciała. Siły działające na układ mechaniczny (zewnętrzne i wewnętrzne) przykładane są do wszystkich punktów materialnych układu. Równania (17.15) pozwalają wyznaczyć ruch środka masy układu bez wyznaczania ruchu jego poszczególnych punktów. Porównując równania (17.15) twierdzenia o ruchu środka masy z równaniami (13.5) drugiej zasady Newtona dla punktu materialnego, dochodzimy do wniosku: środek masy układu mechanicznego porusza się jak punkt materialny, którego masa jest równa masie całego układu i tak jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne działające na układ. Zatem rozwiązania, które uzyskujemy, uznając dane ciało za punkt materialny, wyznaczają prawo ruchu środka masy tego ciała.

W szczególności, jeśli ciało porusza się translacyjnie, wówczas charakterystyki kinematyczne wszystkich punktów ciała i jego środka masy są takie same. Dlatego ciało poruszające się translacyjnie można zawsze uznać za punkt materialny o masie równej masie całego ciała.

Jak widać z (17.15) siły wewnętrzne działające na punkty układu nie wpływają na ruch środka masy układu. Siły wewnętrzne mogą wpływać na ruch środka masy w przypadkach, gdy pod ich wpływem zmieniają się siły zewnętrzne. Przykłady tego zostaną podane poniżej.

Z twierdzenia o ruchu środka masy wynikają następujące ważne konsekwencje, które wyrażają prawo zachowania ruchu środka masy układu.

1. Jeżeli suma geometryczna wszystkich sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero (LF k=0), to z równania (17.15) wynika,

a co z tym ac = 0 lub Vc = const, czyli środek masy tego układu

porusza się ze stałą prędkością pod względem wielkości i kierunku (innymi słowy równomiernie i prostoliniowo). W szczególnym przypadku, jeśli początkowo środek masy znajdował się w spoczynku ( Vc=0), to pozostanie w spoczynku; Gdzie

ścieżka Wiesz, że jego położenie w przestrzeni nie ulegnie zmianie, tj. r do = konst.

2. Jeżeli siły zewnętrzne działające na układ są takie, że suma ich rzutów na jakąś oś (np. oś X) równy zeru (?F e kx= 0), to z równania (17.16) wynika, że ​​w tym przypadku x s=0 lub VCx =x do = const, czyli rzut prędkości środka masy układu na tę oś jest wartością stałą. W szczególnym przypadku, jeśli w momencie początkowym Drażnić= 0, to w każdym kolejnym momencie wartość ta pozostanie taka sama, a co za tym idzie, współrzędna x sśrodek masy układu nie ulegnie zmianie, tj. x c - konst.

Rozważmy przykłady ilustrujące prawo ruchu środka masy.

Przykłady. 1. Jak zauważono, ruch środka masy zależy wyłącznie od sił zewnętrznych; siły wewnętrzne nie mogą zmienić położenia środka masy. Ale wewnętrzne siły systemu mogą powodować wpływy zewnętrzne. Zatem ruch człowieka po poziomej powierzchni odbywa się pod wpływem sił tarcia pomiędzy podeszwami jego butów a nawierzchnią drogi. Człowiek siłą swoich mięśni (sił wewnętrznych) odpycha się stopami od nawierzchni drogi, dlatego w punktach styku z drogą pojawia się siła tarcia (zewnętrzna w stosunku do człowieka), skierowana w stronę jego ruch.

• 2. Samochód porusza się w podobny sposób. Wewnętrzne siły ciśnienia w silniku wymuszają obrót kół, ale ponieważ te ostatnie mają przyczepność do nawierzchni, powstałe siły tarcia „popychają” samochód do przodu (w rezultacie koła nie obracają się, ale poruszają się płasko równolegle). . Jeśli droga jest całkowicie gładka, wówczas środek masy samochodu będzie nieruchomy (przy zerowej prędkości początkowej), a koła przy braku tarcia będą się ślizgać, czyli wykonywać ruch obrotowy.
• 3. Ruch za pomocą śmigła, śmigła lub wioseł następuje w wyniku odrzucenia określonej masy powietrza (lub wody). Jeśli potraktujemy rzuconą masę i poruszające się ciało jako jeden układ, wówczas siły oddziaływania między nimi, jako siły wewnętrzne, nie są w stanie zmienić całkowitej wielkości ruchu tego układu. Jednak każda część tego układu będzie przesuwać np. łódź do przodu, a wodę, którą wiosła będą odrzucać.
• 4. W pozbawionej powietrza przestrzeni, gdy rakieta się porusza, „wyrzuconą masę” należy „zabrać ze sobą”: silnik odrzutowy wprawia rakietę w ruch, odrzucając produkty spalania paliwa, którym rakieta jest wypełniona.
• 5. Podczas schodzenia na spadochronie można kontrolować ruch środka masy układu człowiek-spadochron. Jeżeli poprzez wysiłek mięśni osoba napręży liny spadochronu w taki sposób, że zmieni się kształt jego czaszy lub kąt natarcia strumienia powietrza, wówczas spowoduje to zmianę zewnętrznego wpływu strumienia powietrza, a tym samym wpłynie na ruch całego systemu.

Zadanie 17.2. W Zadanie 17.1 (patrz ryc. 17.2) określ: 1) prawo ruchu wózka X (= /)(/), jeśli wiadomo, że w początkowym momencie t 0 = O układ był w spoczynku i współrzędna x 10 = 0; 2) prawo zmiany w czasie całkowitej wartości reakcji normalnej N(N = N"+N") płaszczyzna pozioma, tj. N=f2(t).

Rozwiązanie. Tutaj, podobnie jak w zadaniu 17.1, rozważamy system składający się z wózka i ładunku D, w dowolnej pozycji pod wpływem przyłożonych do niego sił zewnętrznych (patrz ryc. 17.2). Osie współrzędnych Och narysuj go tak, aby oś x była pozioma, a oś Na przeszedł przez punkt 0, tj. położenie punktu A w pewnym momencie t-t 0 - 0.

1. Wyznaczenie prawa ruchu wózka. Aby wyznaczyć x, = /,(0, korzystamy z twierdzenia o ruchu środka masy układu. Utwórzmy równanie różniczkowe jego ruchu w rzucie na oś x:

Ponieważ wszystkie siły zewnętrzne są zatem pionowe T,F i kx = 0 i dlatego

Całkując to równanie, znajdujemy to Mx s = B, to znaczy rzut prędkości środka masy układu na oś x jest wartością stałą. Od początkowego momentu

Całkowanie równań Mx s= 0, otrzymujemy

tj. koordynować x sśrodek masy układu jest stały.

Zapiszmy wyrażenie Mx s dla dowolnego położenia układu (patrz rys. 17.2), biorąc pod uwagę to x A - x { , x D - x 2 I x 2 - x ( - I grzech ż. Zgodnie ze wzorem (16.5), który w tym przypadku wyznacza współrzędną środka masy układu Mx s - t ( x ( + t 2x2".

dla dowolnego punktu w czasie

dla chwili czasu / () = 0, X (= 0 i

Zgodnie z równością (b), współrzędna x sśrodek masy całego układu pozostaje niezmieniony, tj. xD^,) = xc(t). W konsekwencji przyrównując wyrażenia (c) i (d) otrzymujemy zależność współrzędnej x od czasu.

Odpowiedź: X - 0,2 m, gdzie T- w sekundy.

2. Definicja reakcji N. Do ustalenia N=f 2 (t) ułóżmy równanie różniczkowe ruchu środka masy układu w rzucie na oś pionową Na(patrz rys. 17.2):

Stąd, oznaczając N=N+N", dostajemy

Zgodnie ze wzorem wyznaczającym rzędną takśrodek masy układu, Mu s = t (yx + t 2 i 2, gdzie y, = w C1,o 2= i D = UA ~ 1 bo Ф” otrzymujemy

Różniczkując tę ​​równość dwukrotnie w czasie (biorąc pod uwagę, że w C1 I w A ilości są stałe i dlatego ich pochodne są równe zeru), znajdujemy

Podstawiając to wyrażenie do równania (e), wyznaczamy pożądaną zależność N z T.

Odpowiedź: N- 176,4 + 1,13,

gdzie f = (i/6)(3/ -1), T- w sekundy, N- w niutonach.

Zadanie 17.3. Masa silnika elektrycznego tx przymocowany do poziomej powierzchni fundamentu za pomocą śrub (ryc. 17.3). Nieważki pręt o długości l jest przymocowany na jednym końcu do wału silnika pod kątem prostym do osi obrotu, a na drugim końcu pręta zamontowany jest obciążnik punktowy. A masa t 2. Wał obraca się równomiernie z prędkością kątową c. Znajdź poziomy nacisk silnika na śruby. Rozwiązanie. Rozważmy układ mechaniczny składający się z silnika i obciążnika punktowego A, w dowolnej pozycji. Przedstawmy siły zewnętrzne działające na układ: grawitację Rx, R2, reakcja fundamentu w postaci siły pionowej N i siła pozioma R. Narysujmy oś współrzędnych x poziomo.

Aby określić poziomy nacisk silnika na śruby (i będzie on liczbowo równy reakcji R i skierowany przeciwnie do wektora R ), ułożymy równanie twierdzenia o zmianie pędu układu w rzucie na poziomą oś x:

Dla rozważanego układu w jego dowolnym położeniu, biorąc pod uwagę, że pęd korpusu silnika wynosi zero, otrzymujemy Qx = - t 2 U A spol. Biorąc to pod uwagę V A = a z/, f = co/ (obrót silnika jest równomierny), otrzymujemy Q x - - m 2 co/cos co/. Różnicowanie Qx w czasie i podstawiając do równości (a), znajdujemy R- m 2 co 2 /sin co/.

Należy pamiętać, że to właśnie takie siły wymuszają (patrz § 14.3), gdy działają, powstają wymuszone wibracje konstrukcji.

Ćwiczenia do samodzielnej pracy

• 1. Co nazywa się pędem punktu i układu mechanicznego?
• 2. Jak zmienia się pęd punktu poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu?
• 3. Czym charakteryzuje się impuls siły?
• 4. Czy siły wewnętrzne układu wpływają na jego pęd? Na ruchu jego środka masy?
• 5. Jak pary przyłożonych do niego sił wpływają na ruch środka masy układu?
• 6. W jakich warunkach środek masy układu znajduje się w spoczynku? porusza się równomiernie i po linii prostej?

7. W łódce stojącej, bez przepływu wody, osoba dorosła siedzi na rufie, a dziecko na dziobie łodzi. W jakim kierunku popłynie łódź, jeśli zamienią się miejscami?

W jakim przypadku moduł ruchu łodzi będzie duży: 1) jeśli dziecko przesunie się na rufę osoby dorosłej; 2) jeśli do dziecka na dziób łodzi podchodzi osoba dorosła? Jakie będzie przemieszczenie środka masy układu „łódź i dwie osoby” podczas tych ruchów?

Wielkość ruchu jest miarą ruchu mechanicznego, jeśli ruch mechaniczny zamienia się w mechaniczny. Na przykład mechaniczny ruch kuli bilardowej (ryc. 22) przed uderzeniem zamienia się w mechaniczny ruch kul po uderzeniu. Dla punktu pęd jest równy iloczynowi.

Miarą siły w tym przypadku jest impuls siły

. (9.1)

Pęd określa działanie siły przez pewien okres czasu . Dla punktu materialnego twierdzenie o zmianie pędu można zastosować w formie różniczkowej
(9.2) lub postać całkowa (skończona).
. (9.3)

Zmiana pędu punktu materialnego w pewnym okresie czasu jest równa impulsowi wszystkich sił przyłożonych do tego punktu w tym samym czasie.

Rysunek 22

Podczas rozwiązywania problemów Twierdzenie (9.3) jest częściej stosowane w rzutach na osie współrzędnych
;

; (9.4)

.

Korzystając z twierdzenia o zmianie pędu punktu, można rozwiązać problemy, w których na punkt lub ciało poruszające się translacyjnie działają stałe lub zmienne siły zależne od czasu, a do zadanych i poszukiwanych wielkości zalicza się czas ruchu oraz prędkości na początku i na końcu ruchu. Problemy z wykorzystaniem twierdzenia rozwiązuje się w następującej kolejności:

1. wybrać układ współrzędnych;

2. przedstawić wszystkie dane (czynne) siły i reakcje działające na punkt;

3. zapisać twierdzenie o zmianie pędu punktu w rzutach na wybrane osie współrzędnych;

4. określić wymagane ilości.

PRZYKŁAD 12.

Młotek o masie G=2t spada z wysokości h=1m na obrabiany przedmiot w czasie t=0,01s i stempluje część (rys. 23). Określ średnią siłę nacisku młotka na przedmiot obrabiany.

ROZWIĄZANIE.

1. Na obrabiany przedmiot działa siła ciężkości młotka i reakcja podłoża . Wielkość reakcji wsparcia zmienia się w czasie, więc rozważmy jej średnią wartość
.

2. skieruj oś współrzędnych y pionowo w dół i zastosuj twierdzenie o zmianie pędu punktu w rzucie na tę oś:
, (1) gdzie -- prędkość młota na końcu uderzenia;

- prędkość początkowa młotka w momencie kontaktu z przedmiotem obrabianym.

3. Aby określić prędkość Utwórzmy równanie różniczkowe ruchu młota w rzucie na oś y:

. (2)

Rozdzielmy zmienne i całkujmy równanie (2) dwukrotnie:
;

;

. Z warunków początkowych znajdujemy stałe całkowania C 1, C 2. Przy t=0 V y =0, wówczas C1 =0; y=0, wtedy C2=0. Dlatego młot porusza się zgodnie z prawem
, (3) a prędkość młota zmienia się zgodnie z prawem
. (4) Wyraźmy czas ruchu młotka z (3) i podstawimy go do (4)
;
. (5)

4. Rzut impulsu sił zewnętrznych na oś y wyznaczamy ze wzoru:
. (6) Zastąp (5) i (6) w (1):
, skąd znajdziemy reakcję podpory, a co za tym idzie pożądany nacisk młotka na obrabiany przedmiot
T.

Rysunek 24

DO

gdzie M jest masą układu, Vc jest prędkością środka masy. Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego można zapisać w postaci różniczkowej i skończonej (całkowej):
;

. (9.7)

Wielkość ruchu układu mechanicznego można zdefiniować jako sumę wielkości ruchu punktów układu
. (9.5) Pęd układu lub ciała sztywnego można wyznaczyć znając masę układu i prędkość środka masy
, (9.6)

Zmiana pędu układu mechanicznego w pewnym okresie czasu jest równa sumie impulsów sił zewnętrznych działających w tym samym czasie. Czasami wygodniej jest zastosować twierdzenie o zmianie pędu w rzucie na osie współrzędnych
; (9.8)
. (9.9)

Prawo zachowania pędu mówi, że w przypadku braku sił zewnętrznych pęd układu mechanicznego pozostaje stały. Działanie sił wewnętrznych nie może zmienić pędu układu. Z równania (9.6) wynika, że ​​kiedy
,
.

Jeśli
, To
Lub
.

D

śmigło lub śmigło, napęd odrzutowy. Kałamarnice poruszają się gwałtownie, wyrzucając wodę z worka mięśniowego niczym armata wodna (ryc. 25). Odpychana woda ma pewien ruch skierowany do tyłu. Kałamarnica otrzymuje odpowiednią prędkość ruch do przodu dzięki reaktywnej sile uciągu , ponieważ zanim kałamarnica wyskoczy z siły zrównoważony grawitacją .

Działanie prawa zachowania pędu układu mechanicznego można zilustrować na przykładzie zjawiska odrzutu lub cofania się podczas strzelania, pracy

Zastosowanie twierdzenia o zmianie pędu pozwala na wyłączenie z rozważań wszelkich sił wewnętrznych.

PRZYKŁAD 13.

Wciągarka A z bębnem o promieniu r jest zainstalowana na peronie kolejowym wolnostojącym na szynach (rys. 26). Wciągarka przeznaczona jest do przemieszczania po platformie ładunku B o masie m 1. Masa platformy z wciągarką m 2. Bęben wciągarki obraca się zgodnie z prawem
. W początkowej chwili system był mobilny. Pomijając tarcie, znajdź prawo zmiany prędkości platformy po włączeniu wciągarki.

R ROZWIĄZANIE.

1. Rozważ platformę, wciągarkę i ładunek jako pojedynczy układ mechaniczny, na który działają siły zewnętrzne: ciężar ładunku i platformy i reakcje I
.

2. Ponieważ wszystkie siły zewnętrzne są prostopadłe do osi x, tj.
, stosujemy zasadę zachowania pędu układu mechanicznego w rzucie na oś x:
. W początkowej chwili układ był nieruchomy, zatem

Wyraźmy wielkość ruchu układu w dowolnym momencie. Platforma porusza się do przodu z dużą prędkością ładunek podlega złożonemu ruchowi polegającemu na ruchu względnym wzdłuż platformy z określoną prędkością i przenośny ruch wraz z platformą z dużą prędkością ., Gdzie
. Platforma będzie poruszać się w kierunku przeciwnym do względnego ruchu ładunku.

PRZYKŁAD 14.

M

ROZWIĄZANIE.

1. Zastosujmy twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w rzucie na oś x. Ponieważ wszystkie siły zewnętrzne działające na układ są zatem pionowe
, Następnie
, Gdzie
. (1)

2. Wyraźmy rzut pędu na oś x dla rozpatrywanego układu mechanicznego
,

Układ mechaniczny składa się z prostokątnej pionowej płyty 1 o masie m 1 = 18 kg, poruszającej się po poziomych prowadnicach i ładunku D o masie m 2 = 6 kg. W chwili t 0 =0, gdy płyta poruszała się z prędkością u 0 =2m/s, obciążenie zaczęło przemieszczać się wzdłuż rowu zgodnie z równaniem S=AD=0,4sin( t 2) (S-w metrach, t-w sekundach), (ryc. 26). Wyznacz prędkość płyty w czasie t 1 = 1s, korzystając z twierdzenia o zmianie pędu układu mechanicznego.

Gdzie ,
- wielkość ruchu odpowiednio płyty i obciążenia.

;
, Gdzie --bezwzględna prędkość ładunku D. Z równości (1) wynika, że ​​K 1x + K 2x =C 1 lub m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Aby wyznaczyć V Dx, należy uznać ruch ładunku D za złożony, biorąc pod uwagę jego ruch względem płyty oraz ruch samej płyty przenośnej, a następnie
, (3)
;lub w rzucie na oś x: . (4) Podstawmy (4) do (2):
. (5) Stałą całkowania C 1 wyznaczamy z warunków początkowych: przy t=0 u=u 0 ; (m 1 + m 2) u 0 = C 1. (6) Podstawiając wartość stałej C 1 do równania (5) otrzymujemy

SM.

Składający się z N punkty materialne. Wybierzmy pewien punkt z tego układu Mj z masą m j. Jak wiadomo, na ten punkt działają siły zewnętrzne i wewnętrzne.

Zastosujmy to do rzeczy Mj wypadkową wszystkich sił wewnętrznych Fj ja i wypadkową wszystkich sił zewnętrznych Fj e(Rysunek 2.2). Dla wybranego punktu materialnego Mj(jak dla punktu swobodnego) twierdzenie o zmianie pędu piszemy w postaci różniczkowej (2.3):

Napiszmy podobne równania dla wszystkich punktów układu mechanicznego (j=1,2,3,…,n).

Rysunek 2.2

Dodajmy to wszystko kawałek po kawałku N równania:

∑d(m jot × V jot)/dt = ∑F jot mi + ∑F jot ja, (2.9)

d∑(m jot × V jot)/dt = ∑F jot mi + ∑F jot ja. (2.10)

Tutaj ∑m j × V j = Q– wielkość ruchu układu mechanicznego;
∑F jot mi = R mi– wektor główny wszystkich sił zewnętrznych działających na układ mechaniczny;
∑F jot ja = R ja =0– wektor główny sił wewnętrznych układu (zgodnie z właściwością sił wewnętrznych jest równy zero).

Wreszcie dla układu mechanicznego otrzymujemy

dQ/dt = R e. (2.11)

Wyrażenie (2.11) jest twierdzeniem o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci różniczkowej (w wyrażeniu wektorowym): pochodna czasowa wektora pędu układu mechanicznego jest równa wektorowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.

Rzutując równość wektora (2.11) na osie współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy wyrażenia na twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w wyrażeniu współrzędnych (skalarnym):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

te. pochodna czasowa rzutu pędu układu mechanicznego na dowolną oś jest równa rzutowi na tę oś wektora głównego wszystkich sił zewnętrznych działających na ten układ mechaniczny.

Mnożenie obu stron równości (2.12) przez dt, otrzymujemy twierdzenie w innej postaci różniczkowej:

dQ = R mi × dt = δS mi, (2.13)

te. pęd różniczkowy układu mechanicznego jest równy elementarnemu impulsowi wektora głównego (suma impulsów elementarnych) wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.

Całkowanie równości (2.13) w czasie zmiany od 0 do T, otrzymujemy twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci końcowej (całkowej) (w wyrażeniu wektorowym):

Q - Q 0 = S mi,

te. zmiana pędu układu mechanicznego w skończonym czasie jest równa sumie impulsu wektora głównego (suma sumy impulsów) wszystkich sił zewnętrznych działających na układ w tym samym okresie czasu.

Rzutując równość wektora (2.14) na osie współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy wyrażenia twierdzenia w rzutach (w wyrażeniu skalarnym):

te. zmiana rzutu pędu układu mechanicznego na dowolną oś w skończonym czasie jest równa rzutowi na tę samą oś impulsu całkowitego wektora głównego (suma impulsów całkowitych) wszystkich sił zewnętrznych działające na układ mechaniczny w tym samym czasie.

Z rozważanego twierdzenia (2.11) – (2.15) wynikają następujące wnioski:

1. Jeśli R mi = ∑F jot mi = 0, To Q = stała– mamy prawo zachowania wektora pędu układu mechanicznego: jeśli wektor główny Odnośnie wszystkich sił zewnętrznych działających na układ mechaniczny jest równa zeru, wówczas wektor pędu tego układu pozostaje stały pod względem wielkości i kierunku oraz równy swojej wartości początkowej Pytanie 0, tj. Q = Q 0.
2. Jeśli R x mi = ∑X jot mi =0 (R mi ≠ 0), To Q x = stała– mamy prawo zachowania rzutu na oś pędu układu mechanicznego: jeżeli rzut wektora głównego wszystkich sił działających na układ mechaniczny na dowolną oś wynosi zero, to rzut na tę samą oś układu mechanicznego wektor pędu tego układu będzie miał wartość stałą i równą rzutowi na tę oś początkowy wektor pędu, tj. Q x = Q 0x.

Różniczkowa postać twierdzenia o zmianie pędu układu materialnego ma ważne i interesujące zastosowania w mechanice ciągłej. Z (2.11) możemy otrzymać twierdzenie Eulera.

Równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego pod wpływem siły F można przedstawić w następującej postaci wektorowej:

Ponieważ masa punktu M przyjmuje się jako stałą, wówczas można ją wpisać pod znakiem pochodnej. Następnie

Wzór (1) wyraża twierdzenie o zmianie pędu punktu w postaci różniczkowej: pierwsza pochodna po czasie pędu punktu jest równa sile działającej na ten punkt.

W rzutach na osie współrzędnych (1) można przedstawić jako

Jeśli obie strony (1) zostaną pomnożone przez dt, wówczas otrzymujemy inną postać tego samego twierdzenia - twierdzenie o pędzie w postaci różniczkowej:

te. różnica pędu punktu jest równa elementarnemu impulsowi siły działającej na ten punkt.

Rzutując obie części (2) na osie współrzędnych otrzymujemy

Całkując obie części (2) od zera do t (ryc. 1), mamy

gdzie jest prędkość punktu w danej chwili T; - prędkość w T = 0;

S- impuls siły w czasie T.

Wyrażenie w postaci (3) jest często nazywane twierdzeniem o pędzie w postaci skończonej (lub całkowej): zmiana pędu punktu w dowolnym okresie czasu jest równa impulsowi siły w tym samym okresie.

W rzutach na osie współrzędnych twierdzenie to można przedstawić w następującej postaci:

W przypadku punktu materialnego twierdzenie o zmianie pędu w dowolnej postaci zasadniczo nie różni się od równań różniczkowych ruchu punktu.

Twierdzenie o zmianie pędu układu

Wielkość ruchu układu będzie nazywana wielkością wektorową Q, równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) wielkości ruchu wszystkich punktów układu.

Rozważmy system składający się z N punkty materialne. Ułóżmy równania różniczkowe ruchu dla tego układu i dodajmy je wyraz po wyrazie. Następnie otrzymujemy:

Ostatnia suma, ze względu na właściwość sił wewnętrznych, jest równa zeru. Oprócz,

Wreszcie znajdujemy:

Równanie (4) wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu w postaci różniczkowej: pochodna czasowa pędu układu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.

Znajdźmy inne wyrażenie dla twierdzenia. Wpuść tę chwilę T= 0 oznacza wielkość ruchu układu Pytanie 0 i w danym momencie t 1 staje się równe Pytanie 1. Następnie mnożąc obie strony równości (4) przez dt i całkując otrzymujemy:

Czy gdzie:

(S-impuls siły)

ponieważ całki po prawej stronie dają impulsy sił zewnętrznych,

równanie (5) wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu w postaci całkowej: zmiana pędu układu w pewnym okresie czasu jest równa sumie impulsów sił zewnętrznych działających na układ w tym samym czasie.

W rzutach na osie współrzędnych będziemy mieli:

Prawo zachowania pędu

Z twierdzenia o zmianie pędu układu można wyciągnąć następujące istotne konsekwencje:

1. Niech suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ będzie równa zero:

Zatem z równania (4) wynika, że ​​w tym przypadku Q = stała

Zatem, jeśli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, wówczas wektor pędu układu będzie stały pod względem wielkości i kierunku.

2. 01Niech siły zewnętrzne działające na układ będą takie, że suma ich rzutów na jakąś oś (np. Ox) będzie równa zeru:

Zatem z równań (4`) wynika, że ​​w tym przypadku Q = stała

Zatem, jeżeli suma rzutów wszystkich działających sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut wielkości ruchu układu na tę oś jest wartością stałą.

Te wyniki wyrażają prawo zachowania pędu układu. Wynika z nich, że siły wewnętrzne nie mogą zmienić całkowitej wielkości ruchu układu.

Spójrzmy na kilka przykładów:

· Zjawisko powrotu rolki. Jeśli potraktujemy karabin i kulę jako jeden układ, wówczas ciśnienie gazów prochowych podczas strzału będzie siłą wewnętrzną. Siła ta nie może zmienić całkowitego pędu układu. Ponieważ jednak gazy prochowe, działając na kulę, nadają jej pewien ruch skierowany do przodu, muszą jednocześnie nadać karabinowi taki sam ruch w przeciwnym kierunku. Spowoduje to cofnięcie się karabinu, tj. tzw powrót. Podobne zjawisko występuje podczas strzelania z broni (cofanie).

· Działanie śmigła (śmigła). Śmigło wprawia w ruch pewną masę powietrza (lub wody) wzdłuż osi śmigła, odrzucając tę ​​masę z powrotem. Jeżeli potraktujemy masę rzuconą i samolot (lub statek) jako jeden układ, wówczas siły oddziaływania śmigła z otoczeniem, jako siły wewnętrzne, nie są w stanie zmienić całkowitej wielkości ruchu tego układu. Dlatego też, gdy masa powietrza (wody) zostanie odrzucona, samolot (lub statek) uzyskuje odpowiednią prędkość do przodu, taką, że całkowity ruch rozważanego układu pozostaje równy zeru, ponieważ był zerowy przed rozpoczęciem ruchu .

Podobny efekt uzyskuje się poprzez działanie wioseł lub kół łopatkowych.

· Napęd rekt iwny W rakiecie (rakietze) gazowe produkty spalania paliwa wyrzucane są z dużą prędkością przez otwór w ogonie rakiety (z dyszy silnika odrzutowego). Siły ciśnienia działające w tym przypadku będą siłami wewnętrznymi i nie mogą zmienić całkowitego pędu układu gazy rakietowo-proszkowe. Ponieważ jednak uciekające gazy mają pewien ruch skierowany do tyłu, rakieta otrzymuje odpowiednią prędkość do przodu.

Twierdzenie o momentach względem osi.

Rozważ materialny punkt masy M, poruszając się pod wpływem siły F. Znajdźmy dla niego zależność pomiędzy momentami wektorów mV I F względem pewnej ustalonej osi Z.

m z (F) = xF - yF (7)

Podobnie dla wartości m(mV), jeśli zostanie wyjęty M będzie poza nawiasami

M z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Biorąc pochodne po czasie z obu stron tej równości, znajdujemy

Po prawej stronie wynikowego wyrażenia pierwszy nawias jest równy 0, ponieważ dx/dt=V i dу/dt = V, drugi nawias według wzoru (7) jest równy

mz(F), gdyż zgodnie z podstawową zasadą dynamiki:

Wreszcie będziemy mieli (8)

Otrzymane równanie wyraża twierdzenie o momentach wokół osi: pochodna czasowa momentu pędu punktu względem dowolnej osi jest równa momentowi działającej siły względem tej samej osi. Podobne twierdzenie obowiązuje dla chwil wokół dowolnego środka O.