Svaki parcijalni izvod (po x i po g) funkcije dviju varijabli je obična derivacija funkcije jedne varijable za fiksnu vrijednost druge varijable:

(Gdje g= konst),

(Gdje x= konst).

Stoga se parcijalne derivacije izračunavaju korištenjem formule i pravila za izračunavanje derivacija funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir drugu varijablu konstantu.

Ako vam za to nije potrebna analiza primjera i minimum teorije, već samo rješenje vašeg problema, idite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako vam je teško usredotočiti se na praćenje gdje je konstanta u funkciji, tada u nacrtu rješenja primjera, umjesto varijable s fiksnom vrijednošću, možete zamijeniti bilo koji broj - tada možete brzo izračunati parcijalnu derivaciju kao obična derivacija funkcije jedne varijable. Samo se trebate sjetiti vratiti konstantu (varijablu s fiksnom vrijednošću) na njezino mjesto kada završite konačni dizajn.

Gore opisano svojstvo parcijalnih derivacija proizlazi iz definicije parcijalnih derivacija, koja se može pojaviti u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali s donjom definicijom, možete otvoriti teoretsku referencu.

Pojam neprekidnosti funkcije z= f(x, g) u točki definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, g) nazivamo kontinuiranim u točki ako

Razlika (2) naziva se ukupnim prirastom funkcije z(dobiva se kao rezultat povećanja obaju argumenata).

Neka je zadana funkcija z= f(x, g) i točka

Ako se funkcija promijeni z događa se kada se samo jedan od argumenata promijeni, na primjer, x, s fiksnom vrijednošću drugog argumenta g, tada će funkcija dobiti inkrement

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, g) Autor x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, efektivno prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

onda se naziva parcijalna derivacija funkcije f(x, g) argumentom x i označen je jednim od simbola

(4)

Slično se određuje i djelomični prirast z Po g:

i djelomična derivacija f(x, g) Autor g:

(6)

Primjer 1.

Riješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(g fiksni);

Nalazimo parcijalnu derivaciju u odnosu na varijablu "y":

(x fiksni).

Kao što vidite, nije važno u kojoj je mjeri varijabla fiksna: u ovom slučaju to je jednostavno određeni broj koji je faktor (kao u slučaju obične derivacije) varijable s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju . Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s varijablom s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju, tada ta usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju obične derivacije, nestaje.

Primjer 2. S obzirom na funkciju

Pronađite parcijalne derivacije

(po X) i (po Y) i izračunajte njihove vrijednosti u točki A (1; 2).

Riješenje. Na fiksnom g derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije snage ( tablica izvoda funkcija jedne varijable):

.

Na fiksnom x derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija eksponencijalne funkcije, a drugi - kao derivacija konstante:

Sada izračunajmo vrijednosti ovih parcijalnih derivacija u točki A (1; 2):

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3. Naći parcijalne derivacije funkcije

Riješenje. U jednom koraku nalazimo

(g x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna iu ovom slučaju je množitelj na g).

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Slično se definiraju parcijalne derivacije funkcije triju ili više varijabli.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; g; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u naziva funkcija varijabli x, g, ..., t i označavaju u= f(x, g, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Parcijalne derivacije funkcije više varijabli također se određuju i izračunavaju pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4. Naći parcijalne derivacije funkcije

.

Riješenje. g I z fiksno:

x I z fiksno:

x I g fiksno:

Parcijalne derivacije pronađite sami i zatim pogledajte rješenja

Primjer 5.

Primjer 6. Naći parcijalne derivacije funkcije.

Isti ima i parcijalni izvod funkcije više varijabli mehaničko značenje je isto što i derivacija funkcije jedne varijable, je brzina promjene funkcije u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8. Kvantitativna vrijednost protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti funkcijom

Gdje P– broj putnika, N– broj stanovnika dopisnih mjesta, R– udaljenost između točaka.

Parcijalni izvod funkcije P Po R, jednako

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih točaka s istim brojem stanovnika u točkama.

Parcijalna derivacija P Po N, jednako

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja na istoj udaljenosti između točaka.

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Umnožak parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbroj parcijalnih diferencijala za sve nezavisne varijable daje ukupni diferencijal. Za funkciju dviju neovisnih varijabli ukupni diferencijal izražava se jednakošću

(7)

Primjer 9. Pronađite potpuni diferencijal funkcije

Riješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u svakoj točki određene domene kaže se da je diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i zatim pogledajte rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području podrazumijeva njezin kontinuitet u tom području, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uvjet diferencijabilnosti funkcije.

Teorema. Ako funkcija z= f(x, g) ima neprekidne parcijalne derivacije

u danom području, tada je on u tom području diferencijabilan i njegov se diferencijal izražava formulom (7).

Može se pokazati da, kao što je u slučaju funkcije jedne varijable diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal jednak glavni, linearni u odnosu na prirast nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju dviju varijabli ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β infinitezimalni na i .

Parcijalne derivacije višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, g) same su neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivacije u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalne derivacije viših redova.

Razmotrimo funkciju dviju varijabli:

Budući da su varijable $x$ i $y$ neovisne, za takvu funkciju možemo uvesti koncept parcijalne derivacije:

Parcijalna derivacija funkcije $f$ u točki $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ u odnosu na varijablu $x$ je ograničenje

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\lijevo(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]

Slično, možete definirati parcijalnu derivaciju u odnosu na varijablu $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]

Drugim riječima, da biste pronašli parcijalnu derivaciju funkcije nekoliko varijabli, trebate popraviti sve ostale varijable osim željene, a zatim pronaći običnu derivaciju u odnosu na tu željenu varijablu.

Ovo vodi do glavne tehnike za izračunavanje takvih izvedenica: jednostavno pretpostavite da su sve varijable osim ove konstante, a zatim diferencirajte funkciju kao što biste razlikovali "običnu" - s jednom varijablom. Na primjer:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\lijevo(x \desno))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \lijevo(((x)^(2))+10xy \desno))_(y))^(\prime )=((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\ prost ))_(y)+10x\cdot ((\lijevo(y \desno))^(\prim ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Očito, parcijalne derivacije s obzirom na različite varijable daju različite odgovore - to je normalno. Puno je važnije razumjeti zašto smo, recimo, u prvom slučaju ispod znaka izvedenice mirno maknuli $10y$, a u drugom smo potpuno nulirali prvi član. Sve se to događa zbog činjenice da se sva slova, osim varijable po kojoj se provodi diferencijacija, smatraju konstantama: mogu se izvaditi, "spaliti" itd.

Što je "djelomična derivacija"?

Danas ćemo govoriti o funkcijama više varijabli i njihovim parcijalnim izvodima. Prvo, što je funkcija nekoliko varijabli? Do sada smo navikli smatrati funkciju $y\lijevo(x \desno)$ ili $t\lijevo(x \desno)$, ili bilo koju varijablu i jednu njenu funkciju. Sada ćemo imati jednu funkciju, ali nekoliko varijabli. Kako se $y$ i $x$ mijenjaju, mijenjat će se i vrijednost funkcije. Na primjer, ako se $x$ udvostruči, vrijednost funkcije će se promijeniti, a ako se $x$ promijeni, ali se $y$ ne promijeni, vrijednost funkcije će se promijeniti na isti način.

Naravno, funkcija više varijabli, baš kao i funkcija jedne varijable, može se razlikovati. Međutim, budući da postoji nekoliko varijabli, moguće je razlikovati prema različitim varijablama. U tom slučaju nastaju specifična pravila koja nisu postojala pri razlikovanju jedne varijable.

Prije svega, kada izračunavamo derivaciju funkcije iz bilo koje varijable, od nas se traži da naznačimo za koju varijablu izračunavamo derivaciju - to se zove parcijalna derivacija. Na primjer, imamo funkciju dviju varijabli i možemo je izračunati i u $x$ i u $y$ - dvije parcijalne derivacije za svaku od varijabli.

Drugo, čim fiksiramo jednu od varijabli i počnemo izračunavati parcijalni izvod u odnosu na nju, tada se sve ostale uključene u ovu funkciju smatraju konstantama. Na primjer, u $z\lijevo(xy \desno)$, ako razmatramo parcijalnu derivaciju u odnosu na $x$, onda gdje god naiđemo na $y$, smatramo ga konstantom i tako ga tretiramo. Konkretno, kada računamo derivaciju umnoška, ​​$y$ možemo izvaditi iz zagrade (imamo konstantu), a kada računamo derivaciju zbroja, ako negdje dobijemo derivaciju izraza koji sadrži $y$ i ne sadrži $x$, tada će derivacija ovog izraza biti jednaka "nuli" kao derivacija konstante.

Na prvi pogled može se učiniti da govorim o nečemu kompliciranom, a mnogi učenici isprva budu zbunjeni. Međutim, u parcijalnim izvodima nema ničeg nadnaravnog, a sada ćemo to vidjeti na primjeru konkretnih problema.

Problemi s radikalima i polinomima

Zadatak br. 1

Da ne gubimo vrijeme, krenimo od samog početka s ozbiljnim primjerima.

Za početak, podsjetit ću vas na ovu formulu:

Ovo je standardna vrijednost tablice koju znamo iz standardnog tečaja.

U ovom slučaju, derivat $z$ izračunava se na sljedeći način:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)\]

Učinimo to ponovno, budući da korijen nije $x$, već neki drugi izraz, u ovom slučaju $\frac(y)(x)$, tada ćemo prvo koristiti standardnu ​​vrijednost tablice, a zatim, budući da je korijen ne $x $, i drugi izraz, moramo pomnožiti našu derivaciju s još jednom iz ovog izraza s obzirom na istu varijablu. Prvo izračunajmo sljedeće:

\[((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vraćamo se našem izrazu i pišemo:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \lijevo(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]

Uglavnom, to je sve. Međutim, pogrešno je ostaviti ga u ovom obliku: takva je konstrukcija nezgodna za daljnje izračune, pa ćemo je malo transformirati:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \lijevo(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Odgovor je pronađen. Sada se pozabavimo s $y$:

\[(((z)")_(y))=((\lijevo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(y)\]

Zapišimo to zasebno:

\[((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Sada zapisujemo:

\[(((z)")_(y))=((\lijevo(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Gotovo.

Problem br. 2

Ovaj primjer je i jednostavniji i složeniji od prethodnog. Složenije je jer ima više radnji, ali je jednostavnije jer nema korijena, a osim toga funkcija je simetrična u odnosu na $x$ i $y$, tj. ako zamijenimo $x$ i $y$, formula se neće promijeniti. Ova primjedba će dodatno pojednostaviti naš izračun djelomične derivacije, tj. dovoljno je prebrojati jedan od njih, au drugom jednostavno zamijeniti $x$ i $y$.

Primimo se posla:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\lijevo(xy \desno))^(\prime ))_(x)\lijevo(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ) )_(x))(((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Računajmo:

\[((\lijevo(xy \desno))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Međutim, mnogi učenici ne razumiju ovu notaciju, pa je napišimo ovako:

\[((\lijevo(xy \desno))^(\prime ))_(x)=((\lijevo(x \desno))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\lijevo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Tako se još jednom uvjeravamo u univerzalnost algoritma parcijalnih derivacija: kako god ih izračunali, ako su sva pravila ispravno primijenjena, odgovor će biti isti.

Sada pogledajmo još jednu djelomičnu derivaciju iz naše velike formule:

\[((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=((\lijevo((( x)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\lijevo(((y)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Zamijenimo dobivene izraze u našu formulu i dobijemo:

\[\frac(((\lijevo(xy \desno))^(\prime ))_(x)\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x))(((\lijevo (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\lijevo((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))(((\ lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\lijevo(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]

Na temelju prebrojanih $x$. A da bismo izračunali $y$ iz istog izraza, nemojmo izvoditi isti slijed radnji, već iskoristimo prednost simetrije našeg izvornog izraza - jednostavno zamijenimo sve $y$ u našem izvornom izrazu s $x$ i obrnuto:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\lijevo(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( \lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Zbog simetrije smo ovaj izraz izračunali mnogo brže.

Nijanse rješenja

Za parcijalne derivacije rade sve standardne formule koje koristimo za obične, naime derivacija kvocijenta. Međutim, istodobno se pojavljuju specifične značajke: ako razmatramo parcijalnu derivaciju od $x$, tada kada je dobijemo iz $x$, smatramo je konstantom, pa će stoga njezina derivacija biti jednaka "nuli" .

Kao i u slučaju običnih izvedenica, kvocijent (iste izvedenice) može se izračunati na nekoliko različitih načina. Na primjer, ista konstrukcija koju smo upravo izračunali može se prepisati na sljedeći način:

\[((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\lijevo(\frac(1)(x) \desno)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\lijevo(xy \desno))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Istodobno, s druge strane, možete koristiti formulu iz izvedenice zbroja. Kao što znamo, jednak je zbroju derivacija. Na primjer, napišimo sljedeće:

\[((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Sada, znajući sve ovo, pokušajmo raditi s ozbiljnijim izrazima, budući da stvarne parcijalne derivacije nisu ograničene samo na polinome i korijene: tu su i trigonometrija, i logaritmi, i eksponencijalna funkcija. Sada učinimo ovo.

Zadaci s trigonometrijskim funkcijama i logaritmima

Zadatak br. 1

Napišimo sljedeće standardne formule:

\[((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Naoružani ovim znanjem, pokušajmo riješiti:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x )=((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\lijevo (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Napišimo zasebno jednu varijablu:

\[((\lijevo(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\lijevo( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vratimo se našem dizajnu:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \lijevo(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

To je to, našli smo za $x$, a sada napravimo izračune za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\lijevo(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y )=((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\lijevo (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Opet, izračunajmo jedan izraz:

\[((\lijevo(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\lijevo( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno)\]

Vraćamo se na izvorni izraz i nastavljamo rješenje:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Gotovo.

Problem br. 2

Zapišimo formulu koja nam je potrebna:

\[((\lijevo(\ln x \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Sada računajmo s $x$:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(\ln \lijevo(x+\ln y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\lijevo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \lijevo(1+0 \desno)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Pronađeno za $x$. Računamo po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\lijevo(\ln \lijevo(x+\ln y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\lijevo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\lijevo(0+\frac(1)(y) \desno)=\frac(1)(y\lijevo(x+\ln y \desno))\ ]

Problem je riješen.

Nijanse rješenja

Dakle, bez obzira za koju funkciju uzmemo parcijalni izvod, pravila ostaju ista, bez obzira radimo li s trigonometrijom, s korijenima ili s logaritmima.

Klasična pravila za rad sa standardnim derivacijama ostaju nepromijenjena, naime derivacija zbroja i razlike, kvocijent i kompleksna funkcija.

Posljednja se formula najčešće nalazi pri rješavanju problema s parcijalnim derivacijama. Susrećemo ih gotovo posvuda. Nikada nije bilo ni jednog zadatka na kojem nismo naišli na to. Ali bez obzira koju formulu koristimo, još uvijek imamo dodan još jedan zahtjev, naime, osobitost rada s parcijalnim izvedenicama. Nakon što popravimo jednu varijablu, sve ostale su konstante. Konkretno, ako uzmemo u obzir djelomičnu derivaciju izraza $\cos \frac(x)(y)$ u odnosu na $y$, tada je $y$ varijabla, a $x$ ostaje posvuda konstantan. Ista stvar radi i obrnuto. Može se izvaditi iz predznaka izvoda, a izvod same konstante bit će jednak "nuli".

Sve to dovodi do činjenice da parcijalne derivacije istog izraza, ali s obzirom na različite varijable, mogu izgledati potpuno drugačije. Na primjer, pogledajmo sljedeće izraze:

\[((\lijevo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\lijevo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problemi s eksponencijalnim funkcijama i logaritmima

Zadatak br. 1

Za početak napišimo sljedeću formulu:

\[((\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Poznavajući tu činjenicu, kao i izvod složene funkcije, pokušajmo izračunati. Sada ću to riješiti na dva različita načina. Prvi i najočitiji je derivat proizvoda:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\lijevo(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\lijevo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Riješimo zasebno sljedeći izraz:

\[((\lijevo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vraćamo se našem izvornom dizajnu i nastavljamo s rješenjem:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\desno)\]

Sve, $x$ je izračunato.

Međutim, kao što sam obećao, sada ćemo pokušati izračunati tu istu parcijalnu derivaciju na drugačiji način. Da biste to učinili, imajte na umu sljedeće:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Zapišimo to ovako:

\[((\lijevo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=( (\lijevo(((e)^(x+\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\lijevo(x+\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \lijevo(1+\frac(1)(y) \desno)\]

Kao rezultat toga, dobili smo potpuno isti odgovor, ali se pokazalo da je količina izračuna manja. Da biste to učinili, bilo je dovoljno primijetiti da se prilikom izvođenja proizvoda mogu dodati indikatori.

Sada računajmo s $y$:

\[(((z)")_(y))=((\lijevo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\lijevo(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\lijevo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Riješimo zasebno jedan izraz:

\[((\lijevo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Nastavimo rješavati našu originalnu konstrukciju:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \lijevo(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Naravno, taj bi se isti derivat mogao izračunati na drugi način, a odgovor bi bio isti.

Problem br. 2

Računajmo s $x$:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(x \desno))_(x))\cdot \ln \lijevo(((x)^(2))+y \desno )+x\cdot ((\lijevo(\ln \lijevo(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Izračunajmo zasebno jedan izraz:

\[((\lijevo(\ln \lijevo(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Nastavimo rješavati izvornu konstrukciju: $$

Evo odgovora.

Preostaje pronaći analogijom pomoću $y$:

\[(((z)")_(y))=((\lijevo(x \desno))^(\prime ))_(y).\ln \lijevo(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\lijevo(\ln \lijevo(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Kao i uvijek, zasebno ćemo izračunati jedan izraz:

\[((\lijevo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=((\lijevo(((x)^(2)) \desno) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Nastavljamo s rješavanjem osnovnog dizajna:

Sve je izračunato. Kao što vidite, ovisno o tome koja se varijabla uzima za razlikovanje, odgovori su potpuno različiti.

Nijanse rješenja

Ovdje je upečatljiv primjer kako se derivacija iste funkcije može izračunati na dva različita načina. Pogledaj ovdje:

\[(((z)")_(x))=\lijevo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno)=( (\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\lijevo(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ lijevo(1+\frac(1)(y) \desno)\]

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\lijevo(((e)^(x+\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\lijevo(x+\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\lijevo(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]

Prilikom odabira različitih staza, količina izračuna može biti različita, ali odgovor će, ako je sve učinjeno ispravno, biti isti. Ovo se odnosi i na klasične i na parcijalne derivacije. Pritom vas još jednom podsjećam: ovisno o tome uz koju se varijablu uzima izvod, tj. diferencijacije, odgovor može ispasti potpuno drugačiji. Izgled:

\[((\lijevo(\ln \lijevo(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Zaključno, kako bismo konsolidirali sav ovaj materijal, pokušajmo izračunati još dva primjera.

Zadaci s trigonometrijskim funkcijama i funkcijama s tri varijable

Zadatak br. 1

Zapišimo sljedeće formule:

\[((\lijevo(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Riješimo sada naš izraz:

\[(((z)")_(x))=((\lijevo(((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\lijevo(x\cdot \sin y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Izračunajmo posebno sljedeću konstrukciju:

\[((\lijevo(x\cdot \sin y \desno))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Nastavljamo rješavati izvorni izraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Ovo je konačni odgovor privatne varijable na $x$. Sada računajmo s $y$:

\[(((z)")_(y))=((\lijevo(((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\lijevo(x\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Riješimo zasebno jedan izraz:

\[((\lijevo(x\cdot \sin y \desno))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Riješimo našu konstrukciju do kraja:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problem br. 2

Na prvi pogled ovaj se primjer može činiti prilično kompliciranim jer postoje tri varijable. Zapravo, ovo je jedan od najlakših zadataka u današnjem video vodiču.

Traži po $x$:

\[(((t)")_(x))=((\lijevo(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\lijevo(y\cdot ((e) ^(z)) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\lijevo(x \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\lijevo(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Sada se pozabavimo s $y$:

\[(((t)")_(y))=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(y)+((\lijevo(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\lijevo(((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\lijevo (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Našli smo odgovor.

Sada sve što preostaje je pronaći po $z$:

\[(((t)")_(z))=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(z)+((\lijevo(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\lijevo(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Izračunali smo treću derivaciju, čime smo završili rješenje drugog problema.

Nijanse rješenja

Kao što vidite, u ova dva primjera nema ništa komplicirano. Jedino u što smo se uvjerili jest da se derivacija složene funkcije često koristi i ovisno o tome koju parcijalnu derivaciju izračunamo, dobivamo različite odgovore.

U posljednjem zadatku od nas se tražilo da razumijemo funkciju tri varijable odjednom. Nema tu ništa loše, ali smo se na samom kraju uvjerili da se svi bitno razlikuju jedni od drugih.

Ključne točke

Konačni zaključci današnjeg videoupute su sljedeći:

1. Parcijalne derivacije se računaju na isti način kao i obične, ali da bismo izračunali parcijalnu derivaciju u odnosu na jednu varijablu, sve ostale varijable koje su uključene u ovu funkciju uzimamo kao konstante.
2. Kod rada s parcijalnim izvodima koristimo iste standardne formule kao i s običnim izvodima: zbroj, razlika, izvod umnoška i kvocijenta i, naravno, izvod složene funkcije.

Naravno, samo gledanje ove video lekcije nije dovoljno za potpuno razumijevanje ove teme, tako da upravo sada na mojoj web stranici postoji niz problema za ovaj video posebno posvećen današnjoj temi - uđite, preuzmite, riješite ove probleme i provjerite odgovor . I nakon ovoga nećete imati problema s parcijalnim izvodnicama ni na ispitima ni u samostalnom radu. Naravno, ovo nije posljednja lekcija iz više matematike, stoga posjetite našu web stranicu, dodajte VKontakte, pretplatite se na YouTube, lajkajte i ostanite s nama!

Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dviju varijabli i razmotriti možda najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Izvanredni studenti se u pravilu susreću s parcijalnim izvedenicama na 1. godini u 2. semestru. Štoviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih derivacija se gotovo uvijek pojavljuje na ispitu.

Za učinkovito proučavanje materijala u nastavku, vi potrebno moći više ili manje pouzdano pronaći “obične” derivacije funkcija jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno postupati s izvedenicama Kako pronaći izvedenicu? I Derivacija složene funkcije. Trebat će nam i tablica izvodnica elementarnih funkcija i pravila diferenciranja, najprikladnije je ako je pri ruci u tiskanom obliku. Referentni materijal možete dobiti na stranici Matematičke formule i tablice.

Brzo ponovimo koncept funkcije dviju varijabli, pokušat ću se ograničiti na minimum. Funkcija dviju varijabli obično se piše kao , a varijable se pozivaju nezavisne varijable ili argumenti.

Primjer: – funkcija dviju varijabli.

Ponekad se koristi notacija. Ima i zadataka gdje se umjesto slova koristi slovo.

S geometrijskog gledišta, funkcija dviju varijabli najčešće predstavlja plohu u trodimenzionalnom prostoru (ravnina, valjak, sfera, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, zapravo, ovo je više analitička geometrija, a na našem dnevnom redu je matematička analiza, koju mi ​​moj sveučilišni profesor nikad nije dopustio da otpišem i moja je "jača strana".

Prijeđimo na pitanje nalaženja parcijalnih izvodnica prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one koji su popili nekoliko šalica kave i nastavljaju s nekim nevjerojatno teškim materijalom: parcijalne derivacije su gotovo iste kao i “obične” derivacije funkcije jedne varijable.

Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila diferenciranja i tablica derivacija elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika s kojima ćemo se sada upoznati:

...da, usput, za ovu temu koju sam napravio mala pdf knjiga, koji će vam omogućiti da “uhvatite zube” u samo par sati. Ali korištenjem stranice sigurno ćete dobiti isti rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Nađite parcijalne derivacije prvog i drugog reda funkcije

Prvo, pronađimo parcijalne derivacije prvog reda. Ima ih dvoje.

Oznake:
ili – parcijalna derivacija u odnosu na “x”
ili – parcijalna derivacija u odnosu na "y"

Počnimo s . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", varijabla se smatra konstantom (konstantan broj).

Komentari o izvršenim radnjama:

(1) Prvo što radimo kada nalazimo parcijalnu derivaciju je da zaključimo svi funkcija u zagradi ispod prim s indeksom.

Pažnja, važno! NE GUBIMO indekse tijekom procesa rješavanja. U ovom slučaju, ako negdje nacrtate "udarac" bez , tada ga učitelj, barem, može staviti pored zadatka (odmah odgrizite dio boda zbog nepažnje).

(2) Koristimo pravila diferenciranja , . Za jednostavan primjer poput ovog, oba se pravila mogu lako primijeniti u jednom koraku. Obratite pozornost na prvi pojam: budući da smatra se konstantom, a svaka se konstanta može izuzeti iz predznaka izvedenice, onda smo to izbacili iz zagrade. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Sada pogledajmo treći pojam: ovdje se, naprotiv, nema što izvaditi. Budući da je konstanta, također je konstanta, iu tom smislu nije ništa bolji od posljednjeg izraza - "sedam".

(3) Koristimo tablične izvedenice i .

(4) Pojednostavimo, ili, kako ja volim reći, "dotjerajmo" odgovor.

Sada . Kada nađemo parcijalnu derivaciju u odnosu na "y", tada varijablasmatra se konstantom (konstantan broj).

(1) Koristimo ista pravila diferenciranja , . U prvom članu izuzimamo konstantu iz predznaka izvoda, u drugom članu ne možemo ništa izbaciti jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu derivacija elementarnih funkcija. Promijenimo mentalno sve "X" u tablici u "I". To jest, ova tablica jednako vrijedi za (i zapravo za gotovo svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Što znače parcijalne derivacije?

U biti, parcijalne derivacije 1. reda sliče "obična" izvedenica:

- Ovo funkcije, koji karakteriziraju stopa promjene funkcionira u smjeru osi i . Tako npr. funkcija karakterizira strminu "uspona" i "padina" površine u smjeru osi apscisa, a funkcija nam govori o “reljefu” iste površine u smjeru osi ordinata.

! Bilješka : Ovo se odnosi na smjerove koji paralelno koordinatne osi.

Radi boljeg razumijevanja, uzmimo u obzir određenu točku na ravnini i izračunajmo vrijednost funkcije ("visinu") na njoj:
– a sada zamislite da ste ovdje (NA POVRŠINI).

Izračunajmo parcijalni izvod u odnosu na "x" u danoj točki:

Negativan predznak izvedenice "X" nam govori o smanjujući se funkcionira u točki u smjeru apscisne osi. Drugim riječima, ako napravimo malo, malo (infinitezimalno) korak prema vrhu osi (paralelno s ovom osi), zatim ćemo se spustiti niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru ordinatne osi:

Derivacija u odnosu na "y" je pozitivna, dakle, u točki u smjeru osi funkcija povećava se. Jednostavno rečeno, ovdje nas čeka uzbrdica.

Osim toga, parcijalna derivacija u točki karakterizira stopa promjene funkcionira u odgovarajućem smjeru. Što je veća rezultirajuća vrijednost modulo– što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru apscisne osi je strmiji od "planine" u smjeru ordinatne osi.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da s točke na kojoj se nalazimo, (i općenito s bilo koje točke na određenoj površini) možemo krenuti u nekom drugom smjeru. Dakle, postoji interes za stvaranje opće "navigacijske karte" koja bi nas informirala o "krajoliku" površine ako je moguće u svakoj točki domena definiranja ove funkcije svim dostupnim stazama. O ovome i drugim zanimljivostima govorit ću u jednoj od sljedećih lekcija, ali za sada se vratimo tehničkoj strani problema.

Sistematizirajmo osnovna primijenjena pravila:

1) Kada diferenciramo u odnosu na , varijabla se smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija provodi prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tablica derivacija elementarnih funkcija vrijede i vrijede za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) po kojoj se provodi diferenciranje.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivacije drugog reda. Ima ih četiri.

Oznake:
ili – druga derivacija u odnosu na “x”
ili – drugi izvod u odnosu na "y"
ili - mješoviti izvedenica "x by igr"
ili - mješoviti izvedenica "Y"

S drugom derivacijom nema problema. Jednostavno rečeno, druga derivacija je derivacija prve derivacije.

Radi praktičnosti, prepisat ću već pronađene parcijalne derivacije prvog reda:

Prvo, pronađimo mješovite izvedenice:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalnu derivaciju i ponovno je diferenciramo, ali u ovom slučaju - ovaj put prema "Y".

Također:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovite derivacije drugog reda vrlo je zgodno provjeriti jesmo li ispravno pronašli parcijalne derivacije prvog reda.

Pronađite drugu derivaciju u odnosu na "x".
Bez izuma, uzmimo i ponovno ga razlikujemo s "x":

Također:

Treba napomenuti da prilikom pronalaska morate pokazati povećana pozornost, jer ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih potvrdile.

Druge derivacije također nalaze široku praktičnu primjenu, posebice se koriste u problemu nalaženja ekstremi funkcije dviju varijabli. Ali sve ima svoje vrijeme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne derivacije prvog reda funkcije u točki. Pronađite derivacije drugog reda.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći izvedenicu? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti pronaći takve derivate "u hodu".

Usavršimo se u složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjeri to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Pronađite parcijalne derivacije prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: , uz “X” nije zabranjeno napisati u zagradi da je to konstanta. Ova bilješka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snalazili u rješenju.

Dodatni komentari:

(1) Sve konstante pomičemo iza predznaka derivacije. U ovom slučaju, i , i stoga se njihov umnožak smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Uzimamo sve konstante iz predznaka izvoda; u ovom slučaju, konstanta je .

(2) Ispod prabroja nam je ostao umnožak dviju funkcija, stoga trebamo koristiti pravilo za diferenciranje umnoška .

(3) Ne zaboravite da je ovo složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivacije drugog reda:

To znači da su svi izračuni izvedeni ispravno.

Zapišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji razmatramo, nema smisla govoriti koliki je ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli. Važno je da upravo taj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim zadacima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcija dviju varijabli ima oblik:

U ovom slučaju:

To jest, samo trebate glupo zamijeniti već pronađene parcijalne derivacije prvog reda u formulu. U ovoj i sličnim situacijama najbolje je u brojnicima pisati predznake razlike:

I prema opetovanim zahtjevima čitatelja, potpuni diferencijal drugog reda.

Ovako izgleda:

Pronađimo PAŽLJIVO “jednoslovne” izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravite udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto čini teškim, uvijek se možete vratiti izvedenicama nakon što svladate tehniku ​​razlikovanja:

Primjer 4

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije . Provjeri to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Pogledajmo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije.

Riješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije). Neću vam dati potpuno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbroja

(2) Prvi član u ovom slučaju smatra se konstantom, budući da u izrazu ne postoji ništa što ovisi o “x” - samo “y”. Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi član primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, ništa se u tom smislu ne bi promijenilo ni da je umjesto toga dana funkcija - bitno je to ovdje proizvod dviju funkcija, SVAKI od kojih ovisi o "X", stoga morate koristiti pravilo razlikovanja proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži "Y", stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenata: . Drugi član ovisi SAMO o "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije.

Za one čitatelje koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam stari Mehmatovljev vic za olakšanje:

Jednog se dana u prostoru funkcija pojavila zla izvedenica i počela sve razlikovati. Sve su funkcije razbacane na sve strane, nitko se ne želi transformirati! A samo jedna funkcija ne bježi. Prilazi joj izvedenica i pita:

- Zašto ne pobjegneš od mene?

- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na potenciju X" i nećete mi ništa!

Na što zla izvedenica s podmuklim osmijehom odgovara:

- Tu se varate, ja ću vas razlikovati po Y, pa bi trebali biti nula.

Tko je shvatio vic, savladao je izvedenice, barem do razine “C”).

Primjer 8

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Cjelovito rješenje i primjer zadatka nalaze se na kraju lekcije.

Pa to je skoro sve. Na kraju, ne mogu a da ne obradujem ljubitelje matematike još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svatko ima drugačiju razinu matematičke pripremljenosti – postoje ljudi (i ne tako rijetki) koji se vole natjecati s težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko složen koliko je glomazan s računalne točke gledišta.

Parcijalne derivacije se koriste u problemima koji uključuju funkcije nekoliko varijabli. Pravila za pronalaženje potpuno su ista kao i za funkcije jedne varijable, s jedinom razlikom što se jedna od varijabli mora smatrati konstantom (konstantnim brojem) u trenutku diferenciranja.

Formula

Parcijalne derivacije za funkciju dviju varijabli $ z(x,y) $ zapisuju se u sljedećem obliku $ z"_x, z"_y $ i nalaze se pomoću formula:

Parcijalne derivacije prvog reda

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Parcijalne derivacije drugog reda

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Mješovita izvedenica

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Parcijalni izvod složene funkcije

a) Neka je $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, tada je derivacija složene funkcije određena formulom:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Neka $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, tada se parcijalne derivacije funkcije nalaze po formuli:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Parcijalne derivacije implicitne funkcije

a) Neka je $ F(x,y(x)) = 0 $, tada $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Neka $ F(x,y,z)=0 $, tada $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z)$$

Primjeri rješenja

Primjer 1

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Riješenje

Da bismo pronašli parcijalnu derivaciju u odnosu na $ x $, smatrat ćemo da je $ y $ konstantna vrijednost (broj): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Da bismo pronašli parcijalni izvod funkcije u odnosu na $y$, definiramo $y$ konstantom: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Primjer 2

Nađite parcijalne derivacije funkcije drugog reda $ z = e^(xy) $

Riješenje

Najprije trebate pronaći izvode prvog reda, a onda znajući ih možete pronaći izvode drugog reda. Neka $y$ bude konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Postavimo sada $ x $ da bude konstantna vrijednost: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Poznavajući prve izvode, na sličan način nalazimo i drugi. Postavite $y$ na konstantu: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Postavljamo $ x $ na konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Sada preostaje samo pronaći mješovitu derivaciju. Možete razlikovati $ z"_x $ po $ y $, a možete razlikovati $ z"_y $ po $ x $, jer prema teoremu $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Odgovor

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Primjer 4

Neka $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definira implicitnu funkciju $ F(x,y,z) = 0 $. Pronađite parcijalne derivacije prvog reda.

Riješenje

Zapisujemo funkciju u formatu: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ i pronalazimo derivacije: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Odgovor

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Razmatraju se primjeri izračuna derivacija višeg reda eksplicitnih funkcija. Dane su korisne formule za izračunavanje derivacija n-tog reda.

Sadržaj

Određivanje derivacija višeg reda

Ovdje razmatramo slučaj kada varijabla y eksplicitno ovisi o varijabli x:
.
Diferenciranjem funkcije s obzirom na varijablu x dobivamo derivaciju prvog reda ili jednostavno derivaciju:
.
Kao rezultat dobivamo novu funkciju, koja je derivacija funkcije. Diferenciranjem ove nove funkcije s obzirom na varijablu x, dobivamo derivaciju drugog reda:
.
Diferenciranjem funkcije dobivamo izvod trećeg reda:
.
I tako dalje. Diferenciranjem izvorne funkcije n puta, dobivamo derivaciju n-tog reda ili n-tu derivaciju:
.

Izvedenice se mogu označiti potezi, rimski brojevi, arapski brojevi u zagradama ili razlomci iz diferencijala. Na primjer, izvedenice trećeg i četvrtog reda mogu se označiti na sljedeći način:
;
.

Ispod su formule koje mogu biti korisne u izračunavanju izvedenica višeg reda.

Korisne formule za derivacije n-tog reda

Izvodnice nekih elementarnih funkcija:
;
;
;
;
.

Derivacija sume funkcija:
,
gdje su konstante.

Leibnizova formula derivat umnoška dviju funkcija:
,
Gdje
- binomni koeficijenti.

Primjer 1

Pronađite derivaciju prvog i drugog reda sljedeće funkcije:
.

Nalazimo izvod prvog reda. Uzimamo konstantu izvan znaka izvoda i primjenjujemo formulu iz tablice izvoda:
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:
.
ovdje .
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije i koristimo pronađene derivacije:
.
ovdje .

.
Da bismo pronašli derivaciju drugog reda, moramo pronaći derivaciju derivacije prvog reda, odnosno funkcije:
.
Kako bismo izbjegli zabunu s oznakom, označimo ovu funkciju slovom:
(A1.1) .
Zatim izvod drugog reda iz izvorne funkcije je derivacija funkcije:
.

Pronalaženje izvoda funkcije. To je lakše učiniti pomoću logaritamske derivacije. Hajdemo logaritmirati (A1.1):
.
Sada razlikujemo:
(A1.2) .
Ali to je konstanta. Njegova derivacija je nula. Već smo pronašli izvedenicu od. Ostale derivacije nalazimo pomoću pravila diferenciranja složene funkcije.
;
;
.
Zamjenjujemo u (A1.2):

.
Odavde
.

;
.

Primjer 2

Pronađite izvod trećeg reda:
.

Nalaženje derivacije prvog reda. Da bismo to učinili, uzimamo konstantu izvan znaka izvoda i koristimo je tablica izvedenica i primijeniti pravilo za pronalaženje derivacije složene funkcije .

.
ovdje .
Dakle, pronašli smo izvod prvog reda:
.

Nalaženje derivacije drugog reda. Da bismo to učinili, nalazimo derivat od . Primjenjujemo formulu izvedenog razlomka.
.
Izvod drugog reda:
.

Sada nalazimo ono što tražimo izvod trećeg reda. Da bismo to učinili, razlikujemo.
;
;

.

Derivacija trećeg reda jednaka je
.

Primjer 3

Pronađite izvod šestog reda sljedeće funkcije:
.

Otvorite li zagrade, bit će jasno da je izvorna funkcija polinom stupnja . Zapišimo to kao polinom:
,
gdje su konstantni koeficijenti.

Zatim primjenjujemo formulu za n-tu derivaciju funkcije snage:
.
Za derivaciju šestog reda (n = 6 ) imamo:
.
Iz ovoga je jasno da je kod . Kada imamo:
.

Koristimo formulu za izvod zbroja funkcija:

.
Dakle, da bismo pronašli izvod šestog reda izvorne funkcije, trebamo pronaći samo koeficijent polinoma na najvišem stupnju. Nalazimo ga množenjem najvećih potencija u umnošcima zbrojeva izvorne funkcije:

.
Odavde.
.

Zatim

Primjer 4
.

Nađi n-tu derivaciju funkcije

Rješenje >>>

Primjer 5
,
Pronađite n-tu derivaciju sljedeće funkcije:

gdje su i konstante.
U ovom primjeru prikladno je izvoditi izračune pomoću složenih brojeva. Neka imamo neku složenu funkciju ,
(A5.1)
gdje su i funkcije realne varijable x;
- imaginarna jedinica, .
Diferencirajući (A.1) n puta, imamo: .
(A5.2)
;
.

Ponekad je lakše pronaći n-tu derivaciju funkcije. Tada se n-ta derivacija funkcija definira kao realni i imaginarni dio n-te derivacije:
.
Upotrijebimo ovu tehniku ​​da riješimo naš primjer. Razmotrite funkciju
,
Ovdje smo primijenili Eulerovu formulu
.
i uveo oznaku
.

Tada je n-ta derivacija izvorne funkcije određena formulom:
.
Nađimo n-tu derivaciju funkcije
.
Da bismo to učinili, primjenjujemo formulu:
.
U našem slučaju
.

Zatim
,
Dakle, pronašli smo n-tu derivaciju kompleksne funkcije:
Gdje .
Nađimo realni dio funkcije.
,
Da bismo to učinili, predstavljamo kompleksni broj u eksponencijalnom obliku:
; .
U našem slučaju
;

.

Gdje ;
.

Primjer rješenja
Neka , .
.
Zatim ;
,
,
.
u ,
.

,
Gdje
; .