Polünoom, selle tüüpvorm, aste ja terminite koefitsiendid. Polünoom, selle standardvorm, aste ja terminite koefitsiendid Täisarvuliste polünoomide põhiomadused
Näiteks väljendid:
a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- polünoomid.
Monoome, mis moodustavad polünoomi, nimetatakse polünoomi liikmed. Mõelge polünoomile:
7a + 2b - 3c - 11
väljendid: 7 a, 2b, -3c ja -11 on polünoomi liikmed. Pange tähele -11 terminit. See ei sisalda muutujat. Nimetatakse selliseid liikmeid, mis koosnevad ainult numbritest tasuta.
Üldtunnustatud seisukoht on, et iga monoom on polünoomi erijuhtum, mis koosneb ühest liikmest. Sel juhul on monoom ühe liikmega polünoomi nimi. Kahest ja kolmest liikmest koosnevate polünoomide jaoks on olemas ka spetsiaalsed nimed - vastavalt binoom ja trinoom:
7a- monomiaalne
7a + 2b- binoom
7a + 2b - 3c- kolmik
Sarnased liikmed
Sarnased liikmed- polünoomi kuuluvad monoomid, mis erinevad üksteisest ainult koefitsiendi, märgi poolest või ei erine üldse (sarnasteks võib nimetada ka vastandlikke monoome). Näiteks polünoomina:
| 3a 2 b | + | 5abc 2 | + | 2a 2 b | - | 7abc 2 | - | 2a 2 b |
liikmed 3 a 2 b, 2a 2 b ja 2 a 2 b, samuti liikmed 5 abc 2 ja -7 abc 2 on sarnased terminid.
Sarnaste liikmete toomine
Kui polünoom sisaldab sarnaseid termineid, saab selle taandada lihtsamaks vormiks, ühendades sarnased terminid üheks. Seda toimingut nimetatakse sarnaste liikmete toomine. Kõigepealt paneme kõik sarnased terminid eraldi sulgudesse:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)
Mitme sarnase monomi ühendamiseks üheks peate lisama nende koefitsiendid ja jätma tähetegurid muutmata:
((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2
Sarnaste terminite taandamine on mitme sarnase monomi algebralise summa asendamise operatsioon ühe monoomiga.
Standardkuju polünoom
Standardkuju polünoom on polünoom, mille kõik liikmed on standardvormi monoomid, mille hulgas pole sarnaseid termineid.
Polünoomi standardvormi viimiseks piisab sarnaste terminite vähendamisest. Näiteks esitage avaldis standardvormi polünoomina:
3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3
Esiteks leiame sarnased terminid:
Kui standardvormi polünoomi kõik liikmed sisaldavad sama muutujat, on selle liikmed tavaliselt järjestatud suurimast kuni väikseima astmeni. Polünoomi vaba liige, kui see on olemas, asetatakse viimasele kohale - paremale.
Näiteks polünoom
3x + x 3 - 2x 2 - 7
tuleks kirjutada nii:
x 3 - 2x 2 + 3x - 7
§ 13. Tervikfunktsioonid (polünoomid) ja nende põhiomadused. Algebravõrrandite lahendamine kompleksarvude hulgal 165
13.1. Põhimõisted 165
13.2. Täisarvuliste polünoomide põhiomadused 166
13.3. Algebralise võrrandi 169 juurte põhiomadused
13.4. Algebraliste põhivõrrandite lahendamine kompleksarvude hulgal 173
13.5. Iseseisva töö harjutused 176
Enesekontrolli küsimused 178
Sõnastik 178
Põhimääratlused
Terve algebraline funktsioon või algebraline polünoom (polünoom )argument x nimetatakse järgmist tüüpi funktsiooniks
Siin n–polünoomi aste ( naturaalarv või 0), x - muutuv (reaalne või kompleksne), a 0 , a 1 , …, a n –polünoomkoefitsiendid (reaal- või kompleksarvud), a 0 0.
Näiteks,
;
;
,
– ruudukujuline kolmik;
,
;.
Number X 0 selline P n (x 0)0, kutsuti nullfunktsioon
P n (x) või võrrandi juur
.
Näiteks,
tema juured 
,
,
.
sest 
Ja 
.
Märkus (kogu algebralise funktsiooni nullpunktide määratluse kohta)
Kirjanduses on funktsiooni nullid sageli 
nimetatakse selle juurteks. Näiteks numbrid 
Ja 
nimetatakse ruutfunktsiooni juurteks 
.
Täisarvuliste polünoomide põhiomadused
Identiteet (3) kehtib jaoks x
(või x
), seega kehtib see 
; asendamine 
, saame A n = b n. Tühistame vastastikku (3) tingimused A n Ja b n ja jagage mõlemad osad arvuga x:
See identiteet kehtib ka puhul x, sealhulgas millal x= 0, eeldades x= 0, saame A n – 1 = b n – 1 .
Tühistame vastastikku (3") tingimused A n– 1 ja b n– 1 ja jagage mõlemad pooled x, selle tulemusena saame
Sarnaselt argumenti jätkates saame selle A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .
Seega on tõestatud, et kahe täisarvulise polünoomi identne võrdsus eeldab nende koefitsientide kokkulangevust samadel astmetel x.
Vastupidine väide on üsna ilmne, st kui kahel polünoomil on samad koefitsiendid, siis on need hulgal defineeritud identsed funktsioonid 
Seetõttu langevad nende väärtused kokku kõigi argumendi väärtustega 
, mis tähendab nende identset võrdsust. Omadus 1 on täielikult tõestatud.
Näide (polünoomide identne võrdsus)
.
Kirjutame jäägiga jagamise valem: P n (x) = (x – X 0)∙K n – 1 (x) + A,
Kus K n – 1 (x) – astme polünoom ( n – 1), A- jääk, mis on arv, mis tuleneb tuntud algoritmist, mis jagab polünoomi binoomiga "veerus".
See võrdsus kehtib puhul x, sealhulgas millal x = X 0 ; uskudes 
, saame
P n (x 0) = (x 0 – x 0)K n – 1 (x 0) + A A = P n (X 0)
Tõestatud omaduse tagajärg on väide polünoomi jagamise kohta ilma jäägita binoomiga, mida tuntakse Bezouti teoreemina.
|
Bezouti teoreem (täisarvulise polünoomi jagamise kohta binoomiga ilma jäägita) |
|
Kui number
|
on polünoomi null 
, siis jagub see polünoom ilma jäägita erinevusega 
, see tähendab, et võrdsus on tõsi
(5) Bezouti teoreemi saab tõestada ilma varem tõestatud täisarvu polünoomi jagamise omadust kasutamata 
binoomi järgi 
. Tõepoolest, kirjutagem polünoomi jagamise valem 
binoomi järgi 
jäägiga A=0:
Nüüd võtame seda arvesse 
on polünoomi null 
ja kirjutage viimane võrdsus 
:
Näited (polünoomi faktoristamine Bezouti nn.)
1) sest P 3 (1)0;
2) kuna P 4 (–2)0;
3) kuna P 2 (–1/2)0.
Selle teoreemi tõestus jääb meie kursuse raamidest välja. Seetõttu aktsepteerime teoreemi ilma tõestuseta.
Töötame selle teoreemi ja Bezouti teoreemi kallal polünoomiga P n (x):
pärast n-nende teoreemide mitmekordsel rakendamisel saame selle
Kus a 0 on koefitsient juures x n polünoomilises tähistuses P n (x).
Kui võrdne (6) k numbrid komplektist X 1 ,X 2 , …X nühtivad omavahel ja arvuga , siis saame parempoolses korrutis teguri ( x–) k. Siis number x= kutsutakse polünoomi k-kordne juur
P
n
(x
)
, või paljususe k juur
. Kui k= 1, siis number 
helistas polünoomi lihtjuur
P
n
(x
)
.
Näited (polünoomiline lineaarne faktoriseerimine)
1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3 x 1 = 2 - lihtjuur, x 2 = 4 - kolmekordne juur;
2) P 4 (x) = (x – i) 4 x = i- kordsuse juur 4.
Peale monomialide uurimist liigume edasi polünoomide juurde. See artikkel räägib teile kogu vajaliku teabe kohta, mis on vajalik nendega toimingute tegemiseks. Defineerime polünoomi koos kaasnevate polünoomitermini definitsioonidega, st vaba ja sarnase, vaatleme standardvormi polünoomi, tutvustame kraadi ja õpime seda leidma ning töötame selle kordajatega.
Polünoom ja selle mõisted – definitsioonid ja näited
Polünoomi definitsioon anti aastal 7 klassi pärast monomiaalide õppimist. Vaatame selle täielikku määratlust.
Definitsioon 1
Polünoom Arvutatakse monomialide summa ja monoom ise on polünoomi erijuht.
Definitsioonist järeldub, et polünoomide näited võivad olla erinevad: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0, 6 · x · (− 2) · y 12, - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z ja nii edasi. Definitsioonist on meil see 1+x, a 2 + b 2 ja avaldis x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x on polünoomid.
Vaatame veel mõnda määratlust.
2. definitsioon
Polünoomi liikmed nimetatakse seda moodustavateks monoomideks.
Vaatleme näidet, kus meil on polünoom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, mis koosneb 4 liikmest: 3 x 4, − 2 x y, 3 ja – y 3. Sellist monoomi võib pidada polünoomiks, mis koosneb ühest liikmest.
3. määratlus
Polünoomidel, mis sisaldavad 2, 3 trinoomi, on vastav nimi - binoom Ja kolmik.
Sellest järeldub, et vormi väljendus x+y– on binoom ja avaldis 2 x 3 q − q x x x + 7 b on trinoom.
Töötasime kooli õppekava järgi lineaarse binoomiga kujul a · x + b, kus a ja b on mingid arvud ning x on muutuja. Vaatleme näiteid lineaarsetest binoomidest kujul: x + 1, x · 7, 2 − 4 koos ruudukujuliste trinoomide x 2 + 3 · x − 5 ja 2 5 · x 2 - 3 x + 11 näidetega.
Teisendamiseks ja lahendamiseks on vaja leida ja tuua sarnaseid termineid. Näiteks polünoomil kujul 1 + 5 x − 3 + y + 2 x on sarnased liikmed 1 ja - 3, 5 x ja 2 x. Need jagunevad spetsiaalsesse rühma, mida nimetatakse polünoomi sarnasteks liikmeteks.
4. määratlus
Sarnased polünoomi terminid on polünoomides leiduvad sarnased terminid.
Ülaltoodud näites on 1 ja - 3, 5 x ja 2 x polünoomi sarnased liikmed või sarnased terminid. Väljendi lihtsustamiseks leidke ja vähendage sarnaseid termineid.
Standardkuju polünoom
Kõigil mono- ja polünoomidel on oma spetsiifilised nimed.
Definitsioon 5
Standardkuju polünoom on polünoom, milles igal selles sisalduval terminil on standardkujuline monoom ja see ei sisalda sarnaseid termineid.
Definitsioonist on selge, et on võimalik taandada standardkuju polünoome, näiteks 3 x 2 − x y + 1 ja __valem__ ning kirje on standardvormis. Avaldised 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ja 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ei ole standardkujulised polünoomid, kuna esimesel neist on sarnased terminid vorm 3 · x 2 ja − x 2, ja teine sisaldab monoomi kujul x · y 3 · x · z 2, mis erineb standardpolünoomist.
Kui asjaolud seda nõuavad, taandatakse polünoom mõnikord standardvormiks. Polünoomi vabaliikme mõistet peetakse ka tüüpkuju polünoomiks.
Definitsioon 6
Polünoomi vaba liige on standardkujuga polünoom, millel puudub sõnasõnaline osa.
Teisisõnu, kui standardkujul polünoomil on arv, nimetatakse seda vabaliikmeks. Siis on arv 5 polünoomi x 2 z + 5 vaba liige ja polünoomil 7 a + 4 a b + b 3 vaba liiget ei ole.
Polünoomi aste – kuidas seda leida?
Polünoomi enda astme määratlus põhineb standardvormi polünoomi määratlusel ja selle komponentideks olevate monomiaalide astmetel.
Definitsioon 7
Tüüpkujulise polünoomi aste nimetatakse suurimaks selle tähistuses sisalduvatest kraadidest.
Vaatame näidet. Polünoomi 5 x 3 − 4 aste on võrdne 3-ga, kuna selle koostisesse kuuluvatel monoomidel on astmed 3 ja 0 ning neist suurem on vastavalt 3. Polünoomi 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x astme määratlus on võrdne suurimaga arvudest, st 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 ja 1, mis tähendab 5 .
Tuleb välja selgitada, kuidas kraad ise leitakse.
Definitsioon 8
Suvalise arvu polünoomi aste on vastava polünoomi aste standardkujul.
Kui polünoomi ei ole kirjutatud standardkujul, kuid peate leidma selle astme, peate selle taandada standardvormile ja seejärel leidma vajaliku astme.
Näide 1
Leia polünoomi aste 3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12.
Lahendus
Esiteks esitame polünoomi standardkujul. Saame vormi avaldise:
3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12 = = (3 a 12 - 2 a 12 - a 12) - 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Standardkujulise polünoomi saamisel leiame, et kaks neist paistavad selgelt silma - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ja y 2 · z 2 . Kraadide leidmiseks loeme ja leiame, et 2 + 2 + 2 = 6 ja 2 + 2 = 4. Näha on, et suurim neist on 6. Definitsioonist järeldub, et 6 on polünoomi − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 aste ja seega ka algväärtus.
Vastus: 6 .
Polünoomliikmete koefitsiendid
Definitsioon 9Kui polünoomi kõik liikmed on standardkuju monoomid, siis sel juhul on neil nimi polünoomliikmete koefitsiendid. Teisisõnu võib neid nimetada polünoomi kordajateks.
Näidet vaadeldes on selge, et polünoom kujul 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 sisaldab 4 polünoomi: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x ja 7 koos nende vastavate kordajatega 2, − 0, 5, 3 ja 7. See tähendab, et 2, − 0, 5, 3 ja 7 loetakse antud polünoomi kujul 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 liigeste kordajateks. Teisendamisel on oluline pöörata tähelepanu muutujate ees olevatele koefitsientidele.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Polünoom muutujas x on vormi avaldis anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,kus n on naturaalarv; ja, an-1,..., a1, a0- mis tahes arvud, mida nimetatakse selle polünoomi koefitsientideks. Väljendid anxn, an-1xn-1,..., a1х, a0 nimetatakse polünoomi liikmeteks, a0- vabaliige.
Sageli kasutame järgmisi termineid: an- koefitsient juures xn, an-1- koefitsient juures xn-1 jne.
Polünoomide näideteks on järgmised avaldised: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Siin on esimese polünoomi koefitsiendid arvud 0, 2, - 3, 3/7, ; sel juhul on näiteks arv 2 x3 koefitsient ja vaba liige.
Polünoomi, mille kõik koefitsiendid on nullid, nimetatakse nulliks.
Näiteks polünoom 0x2+0x+0 on null.
Polünoomi tähistusest selgub, et see koosneb mitmest liikmest. Siit pärineb mõiste ‹‹polünoom›› (paljud terminid). Mõnikord nimetatakse polünoomi polünoomiks. See termin pärineb kreeka sõnadest???? - palju ja???? - liige.
Polünoom ühes muutujas X me tähistame seda järgmiselt: f (x), g (x), h (x) jne. Näiteks kui esimene ülaltoodud polünoomidest on tähistatud f (x), siis võime kirjutada: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.
Selleks, et muuta polünoomi tähistus lihtsamaks ja kompaktsemaks, leppisime kokku mitmes kokkuleppes.
Neid nullist erineva polünoomi liikmeid, mille koefitsiendid on nulliga, ei kirjutata üles. Näiteks f (x) =0x3+3x2+0x+5 asemel kirjutavad nad: f (x) =3x2+5; asemel g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Seega on iga arv ka polünoom. Polünoom h (x), mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga, s.t. nullpolünoom kirjutatakse järgmiselt: h (x) =0 .
Samuti ei kirjutata üles polünoomi koefitsiente, mis ei ole vabaliige ja võrduvad 1-ga. Näiteks polünoomi f (x) =2x3+1x2+7x+1 saab kirjutada järgmiselt: f (x) =x3+x2+7x+1.
Seda koefitsienti sisaldavale liikmele omistatakse negatiivse koefitsiendi märk ‹‹-››, st näiteks polünoom f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) kirjutatakse kujul f (x) ) =2x3 -3x2+7x-5. Veelgi enam, kui koefitsient, mis ei ole vaba liige, on võrdne - 1, siis jäetakse vastava liikme ees märk “-” ja ühikut ei kirjutata. Näiteks kui polünoom on kujul f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), siis saab selle kirjutada järgmiselt: f (x) =x3-x2+3x-1.
Võib tekkida küsimus: miks on näiteks nõus polünoomi tähistuses 1x asendama x-ga, kui on teada, et 1x = x mis tahes arvu x korral? Asi on selles, et viimane võrdus kehtib, kui x on arv. Meie puhul on x suvalise iseloomuga element. Pealegi ei ole meil veel õigust pidada kirjet 1x arvu 1 ja elemendi x korrutisena, sest kordame, x ei ole arv. Just see asjaolu põhjustab polünoomi kirjutamise kokkulepped. Ja kui me jätkame ilma põhjuseta rääkimist näiteks 2 ja x korrutisest, siis tunnistame mõningast ranguse puudumist.
Polünoomi kirjutamise tavade tõttu pöörame sellele detailile tähelepanu. Kui on näiteks polünoom f (x) = 3x3-2x2-x+2, siis on selle kordajateks arvud 3, - 2, - 1,2. Muidugi võib öelda, et koefitsiendid on arvud 0, 3, - 2, - 1, 2, mis tähendab selle polünoomi esitust: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.
Edaspidi märgime kindluse huvides koefitsiendid, alustades nullist erinevatega, selles järjekorras, nagu need polünoomi tähistuses esinevad. Seega on polünoomi f (x) = 2x5-x koefitsiendid arvud 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Tõsiasi on see, et kuigi näiteks termin x2-ga tähistuses puudub, see tähendab ainult seda, et selle koefitsient võrdub nulliga. Samamoodi ei ole kirjes vaba terminit, kuna see on võrdne nulliga.
Kui on olemas polünoom f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 Ja an?0, siis nimetatakse arvu n polünoomi f (x) astmeks (või öeldakse: f (x) on n-s aste) ja kirjutatakse deg. f (x) =n. Sel juhul nimetatakse juhtivaks koefitsiendiks an ja anxn on selle polünoomi juhtiv liige.
Näiteks kui f (x) =5x4-2x+3, siis deg f (x) =4, juhtkoefitsient on 5, juhtliige on 5x4.
Vaatleme nüüd polünoomi f (x) =a, kus a on nullist erinev arv. Mis on selle polünoomi aste? On lihtne näha, et polünoomi koefitsiendid f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 nummerdatud paremalt vasakule numbritega 0, 1, 2, ..., n-1, n ja kui an?0, siis deg f (x) =n. See tähendab, et polünoomi aste on suurim nullist erinevate koefitsientide arvudest (äsja mainitud numeratsiooniga). Pöördume nüüd tagasi polünoomi juurde f (x) =a, a?0 ja nummerdage selle koefitsiendid paremalt vasakule numbritega 0, 1, 2, ... koefitsient a saab arvu 0 ja kuna kõik muud koefitsiendid on nullid, on see selle koefitsientide suurim arv nullist erinev polünoom. Nii et kunst. f (x) =0.
Seega on nullkraadiga polünoomid teised arvud kui null.
Jääb üle välja selgitada, milline on olukord nullpolünoomi astmega. Nagu teada, on kõik selle koefitsiendid võrdsed nulliga ja seetõttu ei saa ülaltoodud definitsiooni sellele rakendada. Niisiis, leppisime kokku, et nullpolünoomile mitte ühtegi kraadi ei omista, s.t. et tal pole kraadi. Selle kokkuleppe põhjustavad mõned asjaolud, mida arutatakse veidi hiljem.
Niisiis, nullpolünoomil pole kraadi; polünoom f (x) =a, kus a on nullist erinev arv ja selle aste on 0; mis tahes muu polünoomi aste, nagu on lihtne näha, on võrdne muutuja x suurima eksponendiga, mille koefitsient on võrdne nulliga.
Kokkuvõtteks tuletagem meelde veel paar määratlust. Teise astme polünoom f (x) =ax2+bx+ c nimetatakse ruuttrinoomiks. Vormi esimese astme polünoom g (x) =x+c nimetatakse lineaarseks binoomiks.