5.1. Случайные процессы и их классификация

Случайный процесс (СП) это некоторый процесс или явление, поведение которого в течение времени и результат заранее предсказывать невозможно. Примеры случайных процессов: динамика изменения курса валют или акций, выручка или прибыль организации с течением времени, объемы продаж товара и т.д.
Если случайный процесс может изменить своё состояние только в строго определённый момент времени, то он называется процессом с дискретным временем.
Если же смена состояния возможна в произвольный момент времени, то это СП с непрерывным временем.
Если в любой момент времени СП представляет собой дискретную случайную величину (ее значение можно перечислить и выделить два соседних значения), то это процесс с дискретным состоянием.
Если же в любой момент времени состояние может меняться непрерывно, плавно и нельзя выделить два соседних состояния, то это СП с непрерывным состоянием.
Таким образом, возможно 4 вида СП:
1) СП с непрерывным временем и непрерывным состоянием (пример: температура воздуха в некоторый момент времени, изменяется плавно в любой момент времени).
2) СП с непрерывным временем и дискретным состоянием (пример: число посетителей в магазине, изменяется кратно одному в любой момент времени).
3) СП с дискретным временем и непрерывным состоянием (пример: динамика курса курс валюты, изменяется плавно в момент валютных торгов).
4) СП с дискретным временем и дискретным состоянием (пример: число пассажиров в транспорте изменяется кратно одному и только в определенные моменты времени, на остановках).
Рассмотрим некоторую систему S , в которой в данный момент времени t о протекает СП. Этот процесс называется Марковским, если для любого момента времени t > t о , поведение системы в будущем зависит только от того, в каком состоянии система находилась в данный момент времени при t = t о , и никак не зависит от того, как, когда и в каких состояниях она пребывала в прошлом при t < t о . Другими словами, «прошлое» Марковского процесса никак не влияет на «будущее» (только через «настоящее»).

5.2. Потоки событий.

Простейшим видом СП являются потоки событий. Потоком событий называется некоторая последовательность однотипных событий, которые происходят в случайные моменты времени (например, звонки по телефону, посетители магазина, автомобили, проезжающие перекресток и т.д.). Они относятся к СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Математически поток событий можно изобразить в виде случайных точек на оси времени.

Если события в потоке происходят поодиночке, а не группами из нескольких событий, то такой поток называется ординарным. Поток событий называется потоком без последствий, если для любых непересекающихся интервалов времени style="color:red"> число событий в одном интервале никак не влияет на то, сколько и каким образом будут происходить события в другом интервале. Ординарный поток без последствия называется потоком Пуассона. Важнейшей характеристикой любого потока событий является его интенсивность – среднее число событий, произошедших в потоке за одну единицу времени .
С интенсивностью тесно связана величина , которая имеет смысл среднего интервала времени между двумя событиями. Если интервалы между соседними событиями есть случайные величины, которые независимы друг от друга, то такой поток событий называется потоком Пальма.
Если интенсивность потока событий не зависит от времени , то такой поток называется стационарным. Если в потоке события происходят через равные интервалы времени, то он называется регулярным.
Стационарный поток Пуассона называется простейшим потоком. В экономическом моделировании в основном используют потоки Пуассона, в том числе простейшие. Для них справедливы следующие теоремы:
1) Число событий, произошедших в потоке Пуассона, есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона. Вероятность того, что в потоке Пуассона с интенсивностью за интервал времени (t 1 ; t 2) произойдёт ровно k событий, равна:
, где .
Если поток простейший , то .
2) Интервал между событиями или время ожидания очередного события T в потоке Пуассона есть случайная величина, распределенная по показательному закону, т. е вероятность того, что следующее событие произойдет не ранее t , равна:
.
Если поток простейший, то
Пример : Магазин посещают в среднем 20 покупателей за час. Определить вероятность того, что: а) за 5 минут будет 2 покупателя; б) за 10 минут будет не менее 3 покупателей; в) за 3 минуты не будет ни одного покупателя.
Решение. Выбрав за единицу времени 1 минуту, интенсивность пуассоновского потока покупателей магазина (20 покупателей в час или 1/3 покупателя за минуту).
а) k =2, t 1 =0, t 2 =5,

б) k ≥3, t 1 =0, t 2 =10, найдем вероятность события обратного события , что будет менее 3 покупателей ;
.
в) по второй теореме t=3, .

5.3. Марковский СП, с дискретным состоянием

В моделировании вероятностных (стохастических) экономических систем очень часто используют Марковский СП. Рассмотрим СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Тогда все его состояния можно перечислить: S 1 ,S 2 ,…, S n .
Описать все возможные переходы между состояниями можно с помощью графа состояний.
Граф состояний представляет собой упорядоченный граф, вершинами которого являются возможные состояния S i и между двумя состояниями существует ребро - стрелка, если возможен непосредственный переход между состояниями.
Например, магазин может пребывать в следующих состояниях:
S 1 - имеются клиенты, которые обслуживаются,
S 2 – клиентов нет,
S 3 – осуществляется прием товара,
S 4 – учет товара, который происходит иногда после его приема.
Тогда работу магазина можно описать графом состояний

Для расчета основных характеристик системы, необходимо знать вероятностные показатели при переходе между состояниями.
Рассмотрим 2 состояния S i и S j . Интенсивностью переходного потока называется среднее число переходов из состояния S i в состояние S j за единицу времени, которое система проводит в состояние S i . Если известно среднее времяT ij , которое система проводит в S i до того как перейдет в S j , то можно записать: .
Интенсивности переходных потоковуказываются на графе состояний рядом с соответствующими стрелками. Главная задача в таких моделях состоит в определении вероятностей состояний , которые имеют смысл средней доли времени, которого система проводит в этом состоянии.
Для нахождения вероятностей состояний составляется система уравнений
(*)
Данную систему можно составлять по следующим правилам:
1) Число уравнений в системе равно числу состояний.
2) Каждое состояние S j соответствует уравнению с номером j .
3) В левой части каждого уравнения находится сумма интенсивностей (стоят над стрелками) для всех стрелок, входящих в состояние S j умноженных на вероятности состояний, из которых выходят стрелки;
4) В правой части уравнений находится сумма интенсивностей, выходящих из S j стрелок, эта сумма умножается на вероятность P j .
Однако система уравнений (*) является вырожденной и для нахождения единственного решения в этой системе, одно любое уравнение нужно заменить на условие нормировки:
.
Пример 1: Автоматизированная сборочная линия предприятия в среднем 1 раз в месяц выходит из строя и ремонтируется в среднем 3 дня. Кроме того в среднем 2 раза в месяц она проходит техническое обслуживание, которое длиться в среднем 1 день. В среднем в одном случае из трех при техническом обслуживании обнаруживается неполадка и линия ремонтируется. Определить, какую среднюю прибыль приносит линия за месяц, если за один день безотказной работы прибыль равна 15 тысяч рублей. Один день технической обработки обходится в 20 тысяч рублей, а один день ремонта – 30 тысяч рублей.
Решение. Найдем вероятности состояний, равные долям времени работы, ремонта и технического обслуживания. Пусть:
S 1 - линия работает,
S 2 - техническое обслуживание,
S 3 - ремонт.

Составляем систему уравнений. В состояние S 1 входят 2 стрелки: из S 2 с интенсивностью 20 и из S 3 с интенсивностью 10, поэтому левая часть первого уравнения имеет вид: . Из состояния S 1 выходят две стрелки с интенсивностями 2 и 1, поэтому правая часть первого уравнения системы примет вид: . Аналогично, на основании состояний S 2 и S 3 составляем второе и третье уравнения. В результате, система будет иметь вид:

Однако, данная система является вырожденной и для ее решения нужно заменить одно любое (например, первое) уравнение условием нормировки: . В результате, получаем систему:

Выражаем из 1-го и 2-го уравнений Р 1 и Р 3 через Р 2: , и подставляя результат в 3-е уравнение, находим:, , . Умножаем вероятности на 30 дней месяца и находим, что в среднем в месяц линия работает 24,3 дня, техническое обслуживание – 1,6 дней, ремонт – 4,1 дня. Отсюда следует, что средняя прибыль будет 24,3×15-1,6×20-4,1×30=209,5 тыс.руб.
Пример 2 : В туристическом агентстве работает продавец и менеджер. В среднем в агентство приходят 2 клиента за час. Если продавец свободен, он обслуживает клиента, если – занят, то клиента обслуживает менеджер, если оба заняты – клиент уходит. Среднее время обслуживания продавцом 20 минут, менеджером – 30 минут. Каждый клиент приносит среднюю прибыль 100 рублей.
Определить среднюю прибыль агентства за 1 час, и среднее число упущенных клиентов за час.
Решение. Определяем состояния системы:
S 1 – продавец и менеджер свободны,
S 2 – продавец занят, менеджер свободен,
S 3 – продавец свободен, менеджер занят,
S 4 – оба заняты.
Строим граф состояний:

Составляем систему уравнений, заменяя 4-е уравнение условием нормировки:

Решая систему уравнений, находим:
.
Следовательно, продавец занимается обслуживанием P 2 + P 4 =0,25+0,15=0,4, то есть 40% времени. Если бы он обслуживал 100% времени, то за час обслуживал бы 3-х клиентов, а реально: 3 ×0,4=1,2 и приносит прибыль за 1 час 120 рублей. Менеджер работает P 3 + P 4 =0,11+0,15=0,26, т.е 26% времени и поэтому за час обслужит 2 ×0,26=0,52 клиента и приносит прибыль 52 рубля в час. Средняя прибыль за 1 час составит 172 рубля. Клиенты теряются в состоянии S 4 . Так как P 4 =0,15, то в час теряется 15 % клиентов из 2-х возможных или 0,3 клиента. Убытки составляют 30 рублей в час из-за потерянных клиентов.

5.4. Процессы гибели и размножения.

Во многих экономических системах, в которых функционирует СП, возникают ситуации, когда из любого (кроме первого и последнего) состояния S i возможен переход только в соседние состояния S i +1 и S i -1 . такие процессы называются процессами гибели и размножения и они описываются графом состояний.


Интенсивности называются интенсивностями размножения, а m i – интенсивности гибели. Для нахождения вероятности каждого состояния используются формулы:
, (+)
, , …, .
Пример 5.1. В автохозяйстве 5 автомобилей. Каждый из них в среднем 4 раза в год ломается и ремонт длиться в среднем 1 месяц. Определить, какую долю времени все автомобили исправны и среднее число исправных автомобилей в произвольный момент времени.
Решение. Вводим состояния системы:
S 0 – все автомобили сломаны,
S 1 – 1 автомобиль исправен,
S 2 – 2 автомобиля исправны,
S 3 – 3 автомобиля исправны,
S 4 – 4 автомобиля исправны,
S 5 – 5 автомобилей исправны.
Построим граф состояний и расставим переходные интенсивности.
Например, для перехода из S 1 в S 0 имеем ситуацию: исправен 1 автомобиль и он ломается, это происходит 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 4. Для перехода из S 2 в S 1: исправны 2 автомобиля и каждый из них ломается 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 8. Остальные интенсивности гибели расставляются по аналогии.
Для перехода из S 4 в S 5 имеем ситуацию: неисправен 1 автомобиль и он ремонтируется, это длится 1 месяц или 12 раз в год, т.е. интенсивность равна 12. Для перехода из S 3 в S 4 имеем ситуацию: неисправны 2 автомобиля и каждый из них может быть отремонтирован с интенсивностью 12, т.е. общая интенсивность равна 24. Остальные интенсивности размножения расставляются по аналогии.

Вычисляем по формулам (+) вероятности состояний, равные средней доли времени нахождения системы в этих состояниях.


, = 0,088, , ,
Все автомобили исправны в состоянии S 5 , средняя доля времени, когда автомобили исправны – 0,24. Среднее число исправных автомобилей находится как математическое ожидание:

Пример 5.2 . Организация принимает заявки от населения на проведение ремонтных работ. Заявки принимаются по телефону, по двум линиям и их обслуживают два диспетчера. Если одна линия занята, заявка автоматически переключается на вторую. Если обе линии заняты – заявка теряется. Среднее число обслуживания одной заявки – 6 минут. В среднем одна заявка приносит прибыль в 30 рублей. Какова прибыль за час? Целесообразно ли организовывать третий канал с третьим диспетчером, если его обслуживание обойдётся в 150 рублей в час?
Решение . Рассмотрим сначала систему с двумя каналами.
Введем возможные состояния:
S 0 – нет заявок (оба телефона свободны),
S 1 – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
S 2 – две заявки обслуживаются (оба телефона заняты).
Граф состояний будет иметь вид:

Находим вероятности состояний. По приведенным формулам (+):

В среднем, за час теряется 54% заявок или 0,54 ×30 = 16,2 заявки. Обслуживается 13,8 заявок в час и средняя прибыль 13,8 ×30 = 414 рублей.
Рассмотрим теперь ситуацию с тремя линиями. В этом случае три оператора обслуживают 3 телефонные линии, и поступающий звонок приходит на любую свободную линию. Возможны следующие состояния:
S 0 – нет заявок (три телефона свободны),
S 1 – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
S 2 – две заявки обслуживаются (два телефона заняты),
S 3 – три заявки обслуживаются (все телефоны заняты).

По формулам (+) находим вероятности состояний:
,
.
В среднем теряется 35% заявок или 10,4 заявки в час. Обслуживается 19,6 заявок. Средняя прибыль – 588 рублей в час. Прибыль выросла на 174. При затратах 150 рублей в час, третий канал обслуживания вводить целесообразно.

.

Пусть имеется некоторая система S, состояние которой меняется с течением времени (под системой S может пониматься техническое устройство, производственный процесс, вычислительная машина, информационная сеть и т. д.). Если состояние системы S меняется во времени случайным, заранее непредсказуемым образом, говорят, что в системе протекает случайный процесс.

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским (или “процессом без последействия”), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t 0 ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t= t 0 ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом).

Марковский случайный процесс (цепь Маркова) можно определить также как последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий Ai из полной группы. При этом условная вероятность pij(s) того, что в s –ом испытании наступит событие Aj при условии, что в (s – 1) – ом испытании наступило событие Ai, не зависит от результатов предшествующих испытаний. Независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. События называются состояниями системы, а испытания – изменениями состояний системы.

Марковские случайные процессы делятся на классы. Основными классифицирующими признаками являются:

- множество состояний, в которых может находиться система, и

- моменты времени, в которых происходит изменение состояния системы.

Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы S 1 , S 2 , S 3 , ... можно перечислить (перенумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) переходит из одного состояния в другое.

Кроме процессов с дискретными состояниями существуют случайные процессы с непрерывными состояниями: для этих процессов характерен постепенный, плавный переход из состояния в состояние. Например, процесс изменения напряжения в осветительной сети представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями.

Если переходы системы из состояния в состояние возможны только в определенные моменты времени t 1 , t 2 , t 3 ,…, то марковский процесс относится к процессам с дискретным временем. В противном случае имеет место процесс с непрерывным временем.

Анализ случайных процессов с дискретными состояниями обычно проводится с помощью графа состояний и переходов (ГСП).

Пусть имеется система S с n дискретными состояниями:

S 1 , S 2 , S 3 , … S n

Каждое состояние изображается прямоугольником, а возможные переходы (“перескоки”) из состояния в состояние - стрелками, соединяющими эти прямоугольники. Удобно также пользоваться размеченным графом, который графически изображает не только возможные состояния системы и возможные переходы из состояния в состояние, но также и значения вероятностей перехода.

Примеры ГСП показаны на

Рисунок 0‑1 .

Рисунок 0 ‑ 1 . Примеры графа состояний и переходов

Графу системы, содержащему n вершин, можно поставить в соответствие матрицу n×n, элементами которой являются вероятности переходов p ij между вершинами графа, называемую матрицей вероятностей переходов. Элементы матрицы удовлетворяют условиям:

или в матричной форме

Рисунок 0 ‑ 2 Пример размеченного графа непрерывной цепи Маркова

Распределение вероятностей состояний системы, которое можно характеризовать вектором называется стационарным, если оно не зависит от времени, т.е. все компоненты вектора являются константами.

Выходными характеристиками марковского процесса с дискретным множеством состояний и непрерывным временем являются:

- нестационарное распределение вероятностей;

- стационарное распределение вероятностей;

- среднее время пребывания в фиксированном множестве состояний;

- интенсивности перехода из одного множества состояний в другое.

Весьма важным является вопрос о поведении функций р 1 ( t ), р 2 ( t ), ..., р n ( t ) при, а именно, будут ли они стремиться к каким-то пределам. Если эти пределы существуют, они называются предельными (финальными) вероятностями состояний.

Доказано, что если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в любое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

Таким образом, при в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим: хотя система случайным образом и меняет свои состояния, но вероятность каждого из них не зависит от времени и каждое из состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, которая представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Это свойство позволяет обходиться при нахождении параметров системы на основе моделирования одной достаточно длинной реализацией.

Для вероятностей p1(t), p2(t),…, pn(t) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова, которые в случае нахождения предельных вероятностей превращаются в систему линейных алгебраических уравнений (уравнений глобального баланса) для каждого состояния. Совместно с нормировочным условием (0‑9) эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности (0‑8).

Общее правило составления уравнений Колмогорова для предельных вероятностей p i (t) можно сформулировать следующим образом:

- в левой части уравнения стоит сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в i ‑ое состояние, на интенсивности соответствующих потоков минус сумма интенсивностей всех потоков, выводящих систему из данного (j-го) состояния, умноженная на вероятность данного (j-го) состояния;

- в правой части уравнения стоит 0.

Пример:

Уравнения для ГСП на Рисунок 0‑2 будут иметь вид:

Для получения системы независимых уравнений одно из уравнений следует заменить на условие нормировки(0‑9):

р 1 + р 2 + р 3 + р 4 = 1

Процессы гибели и размножения .

Примером составления уравнений для нахождения предельных вероятностей могут служить процессы гибели и размножения, ГСП для которых имеет вид:

Рисунок 0 ‑ 3 ГСП для процесса размножения и гибели

Запишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. В стационарных условиях для каждого состояния интенсивность потока, втекающего в данное состояние, должна равняться интенсивность потока, вытекающего из данного состояния.

Для первого состояния S 1 имеем:

и нормировочному условию (0‑9):

Решение этой системы имеет вид

Вероятности переходов имеют следующие значения Р 12=0,3; Р 13=0,4; Р 23=0,1; Р 24=0,2; Р 25=0,3; Р 45=0,3; Р 53=0,2.

2) Производятся три выстрела по цели, которая может находиться в четырех состояниях:

S 1 -невредима;

S 2 -незначительно повреждена;

S 3 -получила существенные повреждения;

S 4 -полностью поражена.

Вероятности перехода для трех последовательных выстрелов различны и задаются тремя матрицами:

В начальный момент система находится в состоянии S 1.

Найдите вектор вероятностей Р(3).

3) Устройство S состоит из двух узлов A и B , каждый из которых в процессе работы может отказывать. Возможны следующие состояния системы:

S 1 – оба узла работают;

S 2 – узел A отказал, B работает;

S 3 – узел B отказал, A работает;

S 4 – оба узла отказали.

Постройте ГСП системы (для двух случаев: возможность и невозможность одновременного выхода из строя обоих узлов).

4) Система S, как и в задаче 3), представляет собой устройство, состоящее из двух узлов A и B , каждый из которых может в какой-то момент времени отказать. Отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Возможны такие состояния системы:

S 1 - оба узла работают;

S 2 - узел A восстанавливается, узел B - работает;

S 3 - узел A работает, узел B восстанавливается;

S 4 - оба узла восстанавливаются.

Постройте ГСП.

5) В условиях задачи 4) каждый узел перед тем, как начать восстанавливаться, подвергается осмотру с целью локализации неисправности. Состояния системы будем теперь нумеровать не одним, а двумя индексами: первый индекс будет означать состояния узла A:

1 - работает,

2 - осматривается,

3 - восстанавливается;

второй индекс будет означать те же состояния для узла B .

(Например, S 23 будет означать, что узел A осматривается, а узел B - восстанавливается.)

Постройте ГСП.

6) Измените программу (имитационную модель) таким образом, чтобы она обеспечивала нахождение значений предельных вероятностей для условий задачи 5).

7) Размеченный ГСП системы S имеет вид

Составьте систему алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей.

8) Постройте ГСП для нахождения вероятностей состояния системы, узлы которой разнотипны, т.е., характеризуются разными значениями l и m . Число узлов положите равным 3, значения l и m

Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана.

Кафедра «Высшая математика».

Домашнее задание по курсу

«теория вероятности».

Вариант № 5.

Выполнил: Котляров А.С.

Группа: МТ6-62

Проверил: Шахов

Москва. 2000 г.

Задача 1. Одновременно бросаются две кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков:

3. заключена в промежутке .

Решение.

Все пространство возможных событий:

={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);

(2,1);(2,2); ..............................(2,6);

........................................................

(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.

Число возможных вариантов N=36.

Событие А – сумма очков равна 7.

А={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}.

Вероятность события А: P(A)=

Событие B – сумма очков меньше 8.

В={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);

(4,1);(4,2);(4,3);

Вероятность события В:

Событие С – сумма очков больше 6.

С={(1,6);(2,5);(2,6);(3,4);(3,5);(3,6);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5,2);.........(5,6);(6,1);.......(6,6)}.

Вероятность события C:

Событие D – сумма выпавших очков заключена в интервале .

D={(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(4,1)}.

Вероятность события D:

Задача 2. На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение 100 минут. Время обслуживания первой заявки 5 минут, второй – 25 минут. При поступлении заявки на занятое устройство заявка не принимается. При поступлении заявки хотя бы в последний момент времени заявка обслуживается. Найти вероятность того, что:

Обе заявки будут обслужены (событие А);

Будет обслужена одна заявка (событие В).

Р
ешение.

Обозначим: X –время прихода заявки 1,

Y - время прихода заявки 2.

Обе заявки будут обслужены:

а) Заявка 1 пришла первая: YX+5,

(область D1);

б) Заявка 2 пришла первая: XY+25,

(область D2);

Будет обслужена одна заявка:

а) заявка 1:

0X95; Y75 (область D5)

б) заявка 2:

0Y75; X95 (область D6)

в) заявка 2 пришла во время выполнения заявки 1:

XYX+5 (область D3)

г) заявка 1 пришла во время выполнения заявки 2: Y XY+25 (область D4)

Вероятность того, что будет обслужена одна заявка:

Задача 3. Задана электрическая схема системы, состоящей из 5 элементов. Событие - отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы заданы:

Событие А – безотказная работа всей системы за рассматриваемый промежуток времени. Требуется:

Р
ешение.

Второй узел, состоящий из элементов 3,4 выходит из строя, если оба эти элементы выходят из строя, т.е. происходит событие (
).

Вся цепь выйдет из строя, если оба узла не будут проводить ток, т.е.:

(
)(
)

Надежность системы:

Задача 4 . Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 7 высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта при условии, что выборка производится:

с возвращением,

без возвращения.

Решение.

1 ) Пусть событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия высшего сорта;

событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия не высшего сорта.

Извлекаются 6 изделий из 12. Найдем число возможных сочетаний:

.

Интересующее нас событие В состоит в том, чтобы из 6 выбранных было 5 высшего сорта. Найдем сочетание из 6 по 1:

Вероятность события В:

……………………………………………………

Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На первом станке изготовлено 60% деталей, на втором – 10%, на третьем – 30%. Вероятность изготовления брака на i-станке равна:

Определить вероятность того, что:

изделие, взятое со склада, оказалось бракованным (событие А);

бракованное изделие изготовлено на i-м станке (событие Bi).

Решение.

событие Hi заключается в том, что изделие изготовлено на i-том станке

;
;
;

Задача 6. Произведено 4 выстрела с постоянной вероятностью попадания равной 0.6.

Для случайной величины m числа попаданий в цель найти:

распределение вероятностей;

функцию распределения и построить ее график;

вероятность попадания случайной величины в интервал ]0.5,2[;

математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1) обозначим:

1. попадание 1 раз

   попадание 2 раза

   попадание 3 раза

   попадание 4 раза

2) найдем функцию распределения:

0X1: F(X)=P(m1)=P(m=0)=0.0256 ;

1X2: F(X)=P(m2)=P(m=0)+P(m=1)=0.0256+0.1536=0.1792 ;

2X3: F(X)=P(m3)=P(m=0)+P(m=1)+P(m=2)=0.1792+0.3456=0.5248 ;

3X4: F(X)=P(m4)=P(m3)+P(m=3)=0.5248+0.3456=0.8704 ;

4X5: F(X)=P(m5)=P(m4)+P(m=5)=0.8704+0.1296=1 ;

определим вероятность попадания случайной величины m в интервал ]0.5;2[ :

P(0.5m2)=P(m=2)=0.3456 ;

для определения математического ожидания воспользуемся формулой:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

.

Задание №7

Случайная непрерывная величина имеет плотность вероятности f(x) = 32*t*е

Требуется:

1.)Найти её функцию распределения F(x).

2.)Построить графики функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x).

3.)Вычислить вероятность попадания случайной величины в (0.5; 2)

Решение.

1.)F(x) = 32*t*e dt = -e + 1

2.)Графики приведены ниже

3.)Вероятность попадания в случайный интервал найдем как:

Р(0.5 < < 2) = F(0.5) – F(2) = 0.0001

4.)

Задача 8. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины . Случайная величина  связана со случайной величиной  функциональной зависимостью
. Найти:

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя плотность вероятности случайной величины ;

Плотность вероятности случайной величины  и построить ее график;

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность вероятности случайной величины .

Решение.

1. Математическое ожидание:

2. Плотность вероятности случайной величины :

3. Математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины :

Числовые характеристики, вычисленные разными методами, совпадают.

Задача 9. Дана система двух случайных величин (,), закон распределения которой задан таблицей 1. Найти:

Законы распределения случайных величин  и ;

Математические ожидания и дисперсии случайных величин и ;

Решение.

распределение случайной величины :

(2)=0.18+0.15+0.08=0.51

(3)=0.04+0.12+0.12=0.28

(5)=0.06+0.05+0.10=0.21

распределение случайной величины :

(-1)=0.18+0.04+0.06=0.28

(0)=0.15+0.12+0.05=0.32

(1)=0.08+0.12+0.10=0.30

(2)=0.10

Дисперсия случайной величины :

Математическое ожидание случайной величины :

Дисперсия случайной величины :

Корреляционный момент:

Коэффициент корреляции:

(2/0)=
;

(3/0)=

(5/0)=

Условные распределения

Условные математические ожидания:

Задача 10. Система непрерывных случайных величин (,) распределена равномерно в области D, ограниченной линиями x=1, y=0,
x>0;найти:

Решение.

1. Так как распределение равномерное, то f(x;y)=const. Совместную плотность вероятности находим из условия нормировки:

2. Плотности вероятностей случайных величин  и :

.
; x;

; y[-2;0];

Математические ожидания и дисперсии случайных величин  и :

;

;

;

;

;

;

;

Задача 11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, =а+b+с, где (,) – система случайных величин из задачи 10. а=2; b=-3; c=3.

Решение.

Находим математическое ожидание:

Дисперсия:

=.

Способы математического описания марковского случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями, зависят от того, в какие моменты времени - заранее известные или случайные - могут происходить переходы («перескоки») системы из состояния в состояние.

Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени: . В промежутки времени между этими моментами система S сохраняет свое состояние.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой, наперед неизвестный, случайный момент

Рассмотрим прежде всего марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем.

Пусть имеется физическая система S, которая может находиться в состояниях:

причем переходы («перескоки») системы из состояния в состояние воз можны только в моменты:

Будем называть эти моменты «шагами» или «этапами» процесса и рассматривать случайный процесс, происходящий в системе S, как функцию целочисленного аргумента: (номера шага).

Случайный процесс, происходящий в системе, состоит в том, что в последовательные моменты времени система S оказывается в тех или других состояниях, ведя себя, например, следующим образом:

В общем случае в моменты система может не только менять состояние, но и оставаться в прежнем, например:

Условимся обозначать событие, состоящее в том, что после шагов система находится в состоянии При любом k события

образуют полную группу и несовместны.

Процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепочку) событий, например:

Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния в любое не зависит от того, когда и как система пришла в состояние

Мы будем описывать марковскую цепь с помощью так называемых вероятностей состояний. Пусть в любой момент времени (после любого, шага) система S может быть в одном из состояний:

т. е. осуществится одно из полной группы несовместных событий:

Обозначим вероятности этих событий:

Вероятности после первого шага,

Вероятности после второго шага; и вообще после шага:

Легко видеть, что для каждого номера шага к

так как это - вероятности несовместных событий, образующих полную группу.

Будем называть вероятности

вероятностями состояний; поставим задачу: найти вероятности состояний системы для любого к.

Изобразим состояния системы в виде графа (рис. 4.6), где стрелками указаны возможные переходы системы из состояния в состояние за один шаг.

Случайный процессе (марковскую цепь) можно представить себе так, как будто точка, изображающая систему S, случайным образом перемещается (блуждает) по графу состояний, перескакивая из состояния в состояние в моменты а иногда (в общем случае) и задерживаясь какое-то число шагов в одном и том же состоянии. Например, последовательность переходов

можно изобразить на графе состояний как последовательность различных положений точки (см. пунктирные стрелки, изображающие переходы из состояния в состояние на рис. 4.7). «Задержка» системы в состоянии на третьем шаге изображена стрелкой, выходящей из состояния и в него же возвращающейся.

Для любого шага (момента времени или номера существуют какие-то вероятности перехода системы из любого состояния в любое другое (некоторые из них равны нулю, если непосредственный переход за один шаг невозможен), а также вероятность задержки системы в данном состоянии.

Будем называть эти вероятности переходными вероятностями марковской цепи.

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. В противном случае марковская цепь называется неоднородной.

Рассмотрим сначала однородную марковскую цепь. Пусть система S имеет возможных состояний Предположим, что для каждого состояния нам известна вероятность перехода в любое другое состояние за один шаг (в том числе и вероятность задержки в данном состоянии). Обозначим вероятность перехода за один шаг из состояния S, в состояние будет вероятность задержки системы в состоянии Запишем переходные вероятности в виде прямоугольной таблицы (матрицы):

Некоторые из переходных вероятностей могут быть равны нулю: это означает, что за один шаг переход системы из состояния в невозможен. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности того, что система не выйдет из состояния а останется в нем.

Пользуясь введенными выше событиями переходные вероятности можно записать как условные вероятности:

Отсюда следует, что сумма членов, стоящих в каждой строке матрицы (2.3), должна быть равна единице, так как, в каком бы состоянии система ни была перед шагом, события несовместны и образуют полную группу.

При рассмотрении марковских цепей часто бывает удобно пользоваться графом состояний, на котором у стрелок проставлены соответствующие переходные вероятности (см. рис. 4.8). Такой граф мы будем называть «размеченным графом состояний».

Заметим, что на рис. 4.8 проставлены не все переходные вероятности, а только те из них, которые не равны нулю и меняют состояние системы, т. е. при «вероятности задержки» проставлять на графе излишне, так как каждая из них дополняет до единицы сумму переходных вероятностей, соответствующих всем стрелкам, исходящим из данного состояния. Например, для графа рис. 4.8

Если из состояния S; не исходит ни одной стрелки (переход из него ни в какое другое состояние невозможен), соответствующая вероятность задержки равна единице.

Имея в распоряжении размеченный граф состояний (или, что равносильно, матрицу переходных вероятностей) и зная начальное состояние системы, можно найти вероятности состояний

после любого шага.

Покажем, как это делается.

Предположим, что в начальный момент (перед первым шагом) система находится в каком-то определенном состоянии, например, Тогда, для начального момента (0) будем иметь:

т. е. вероятности всех состояний равны нулю, кроме вероятности начального состояния которая равна единице.

Найдем вероятности состояний после первого шага. Мы знаем, что перед первым шагом система заведомо находится в состоянии

Значит, за первый шаг она перейдет в состояния с вероятностями

записанными в строке матрицы переходных вероятностей. Таким образом, вероятности состояний после первого шага будут:

Найдем вероятности состояний после второго шага:

Будем вычислять их по формуле полной вероятности, с гипотезами:

После первого шага система была в состоянии

После первого шага система была в состоянии

После первого шага система была в состоянии

Вероятности гипотез известны (см. (2.4)); условные вероятности перехода в состояние при каждой гипотезе тоже известны и записаны в матрице переходных вероятностей. По формуле полной вероятности получим:

или, гораздо короче,

В формуле (2.6) суммирование распространяется формально на все состояния фактически учитывать надо только те из них, для которых переходные вероятности отличны от нуля, то есть те состояния, из которых может совершиться переход в состояние (или задержка в нем).

Таким образом, вероятности состояний после второго шага известны. Очевидно, после третьего шага они определяются аналогично:

и вообще после шага:

Итак, вероятности состояний после шага определяются рекуррентной формулой (2.8) через вероятности состояний после шага; те, в свою очередь через вероятности состояний после шага, и т. д.

Пример 1. По некоторой цели ведется стрельба четырьмя выстрелами в моменты времени

Возможные состояния цели (системы ):

Цель невредима;

Цель незначительно повреждена;

Цель получила существенные повреждения;

Цель полностью поражена (не может функционировать). Размеченный граф состояний системы показан на рис. 4.9.

В начальный момент цель находится в состоянии (не повреждена). Определить вероятности состояний цели после четырех выстрелов Решение. Из графа состояний имеем;

Задания и процессы

Всякая выполняющаяся в Linux программа называется процессом . Linux как многозадачная система характеризуется тем, что одновременно может выполняться множество процессов, принадлежащих одному или нескольким пользователям. Вывести список исполняющихся в текущее время процессов можно командой ps , например, следующим образом:

/home/larry# ps PID TT STAT TIME COMMAND 24 3 S 0:03 (bash) 161 3 R 0:00 ps /home/larry#

Обратите внимание, что по умолчанию команда ps выводит список только тех процессов, которые принадлежат запустившему её пользователю. Чтобы посмотреть все исполняющиеся в системе процессы, нужно подать команду ps -a . Номера процессов (process ID, или PID ), указанные в первой колонке, являются уникальными номерами, которые система присваивает каждому работающему процессу. Последняя колонка, озаглавленная COMMAND, указывает имя работающей команды. В данном случае в списке указаны процессы, которые запустил сам пользователь larry . В системе работает ещё много других процессов, их полный список можно просмотреть командой ps -aux . Однако среди команд, запущенных пользователем larry , есть только bash (командная оболочка для пользователя larry) и сама команда ps . Видно, что оболочка bash работает одновременно с командой ps . Когда пользователь ввёл команду ps , оболочка bash начала её исполнять. После того, как команда ps закончила свою работу (таблица процессов выведена на экран), управление возвращается процессу bash . Тогда оболочка bash выводит на экран приглашение и ждёт новой команды.

Работающий процесс также называют заданием (job). Понятия процесс и задание являются взаимозаменяемыми. Однако, обычно процесс называют заданием, когда имеют ввиду управление заданием (job control). Управление заданием - это функция командной оболочки, которая предоставляет пользователю возможность переключаться между несколькими заданиями.

В большинстве случаев пользователи запускают только одно задание - это будет та команда, которую они ввели последней в командной оболочке. Однако многие командные оболочки (включая bash и tcsh ) имеют функции управления заданиями (job control), позволяющие запускать одновременно несколько команд или заданий (jobs) и, по мере надобности, переключаться между ними.

Управление заданиями может быть полезно, если, например, вы редактируете большой текстовый файл и хотите временно прервать редактирование, чтобы сделать какую-нибудь другую операцию. С помощью функций управления заданиями можно временно покинуть редактор, вернуться к приглашению командной оболочки и выполнить какие-либо другие действия. Когда они будут сделаны, можно вернуться обратно к работе с редактором и обнаружить его в том же состоянии, в котором он был покинут. У функций управления заданиями есть ещё много полезных применений.

Передний план и фоновый режим

Задания могут быть либо на переднем плане (foreground), либо фоновыми (background). На переднем плане в любой момент времени может быть только одно задание. Задание на переднем плане - это то задание, с которым вы взаимодействуете; оно получает ввод с клавиатуры и посылает вывод на экран (если, разумеется, вы не перенаправили ввод или вывод куда-либо ещё). Напротив, фоновые задания не получают ввода с терминала; как правило, такие задания не нуждаются во взаимодействии с пользователем.

Некоторые задания исполняются очень долго, и во время их работы не происходит ничего интересного. Пример таких заданий - компилирование программ, а также сжатие больших файлов. Нет никаких причин смотреть на экран и ждать, когда эти задания выполнятся. Такие задания следует запускать в фоновом режиме. В это время вы можете работать с другими программами.

Для управления выполнением процессов в Linux предусмотрен механизм передачи сигналов . Сигнал - это способность процессов обмениваться стандартными короткими сообщениями непосредственно с помощью системы. Сообщение-сигнал не содержит никакой информации, кроме номера сигнала (для удобства вместо номера можно использовать предопределённое системой имя). Для того, чтобы передать сигнал, процессу достаточно задействовать системный вызов kill() , а для того, чтобы принять сигнал, не нужно ничего. Если процессу нужно как-то по-особенному реагировать на сигнал, он может зарегистрировать обработчик , а если обработчика нет, за него отреагирует система. Как правило, это приводит к немедленному завершению процесса, получившего сигнал. Обработчик сигнала запускается асинхронно , немедленно после получения сигнала, что бы процесс в это время ни делал.

Два сигнала - номер 9 (KILL ) и 19 (STOP ) - всегда обрабатывает система. Первый из них нужен для того, чтобы убить процесс наверняка (отсюда и название). Сигнал STOP приостанавливает процесс: в таком состоянии процесс не удаляется из таблицы процессов, но и не выполняется до тех пор, пока не получит сигнал 18 (CONT ) - после чего продолжит работу. В командной оболочке Linux сигнал STOP можно передать активному процессу с помощью управляющей последовательности Ctrl -Z .

Сигнал номер 15 (TERM ) служит для прерывания работы задания. При прерывании (interrupt) задания процесс погибает. Прерывание заданий обычно осуществляется управляющей последовательностью Ctrl -C . Восстановить прерванное задание никаким образом невозможно. Следует также знать, что некоторые программы перехватывают сигнал TERM (при помощи обработчика), так что нажатие комбинации клавиш Ctrl -C (о) может не прервать процесс немедленно. Это сделано для того, чтобы программа могла уничтожить следы своей работы прежде, чем она будет завершена. На практике, некоторые программы вообще нельзя прервать таким способом.

Перевод в фоновый режим и уничтожение заданий

Начнём с простого примера. Рассмотрим команду yes, которая на первый взгляд может показаться бесполезной. Эта команда посылает бесконечный поток строк, состоящих из символа y на стандартный вывод. Посмотрим, как работает эта команда:

/home/larry# yes y y y y y

Последовательность таких строк будет бесконечно продолжаться. Уничтожить этот процесс можно, отправив ему сигнал прерывания, т. е. нажав Ctrl -C . Поступим теперь иначе. Чтобы на экран не выводилась эта бесконечная последовательность перенаправим стандартный вывод команды yes на /dev/null . Как вы, возможно, знаете, устройство /dev/null действует как «чёрная дыра »: все данные, посланные в это устройство, пропадают. С помощью этого устройства очень удобно избавляться от слишком обильного вывода некоторых программ.

/home/larry# yes > /dev/null

Теперь на экран ничего не выводится. Однако и приглашение командной оболочки также не возвращается. Это происходит потому, что команда yes все ещё работает и посылает свои сообщения, состоящие из букв y на /dev/null . Уничтожить это задание также можно, отправив ему сигнал прерывания.

Допустим теперь, что вы хотите, чтобы команда yes продолжала работать, но при этом и приглашение командной оболочки должно вернуться на экран, так чтобы вы могли работать с другими программами. Для этого можно команду yes перевести в фоновый режим, и она будет там работать, не общаясь с вами.

Один способ перевести процесс в фоновый режим - приписать символ & к концу команды. Пример:

/home/larry# yes > /dev/null & + 164 /home/larry#

Сообщение представляет собой номер задания (job number) для процесса yes. Командная оболочка присваивает номер задания каждому исполняемому заданию. Поскольку yes является единственным исполняемым заданием, ему присваивается номер 1. Число 164 является идентификационным номером, соответствующим данному процессу (PID ), и этот номер также дан процессу системой. Как мы увидим дальше, к процессу можно обращаться, указывая оба этих номера.

Итак, теперь у нас есть процесс команды yes, работающий в фоне, и непрерывно посылающий поток из букв y на устройство /dev/null . Для того, чтобы узнать статус этого процесса, нужно исполнить команду jobs , которая является внутренней командой оболочки.

/home/larry# jobs + Running yes >/dev/null & /home/larry#

Мы видим, что эта программа действительно работает. Для того, чтобы узнать статус задания, можно также воспользоваться командой ps , как это было показано выше.

Для того, чтобы передать процессу сигнал (чаще всего возникает потребность прервать работу задания) используется утилита kill . В качестве аргумента этой команде даётся либо номер задания, либо PID . Необязательный параметр - номер сигнала, который нужно отправить процессу. По умолчанию отправляется сигнал TERM . В рассмотренном выше случае номер задания был 1, так что команда kill %1 прервёт работу задания. Когда к заданию обращаются по его номеру (а не PID ), тогда перед этим номером в командной строке нужно поставить символ процента («% »).

Теперь введём команду jobs снова, чтобы проверить результат предыдущего действия:

/home/larry# jobs Terminated yes >/dev/null

Фактически задание уничтожено, и при вводе команды jobs следующий раз на экране о нем не будет никакой информации.

Уничтожить задание можно также, используя идентификационный номер процесса (PID ). Этот номер, наряду с идентификационным номером задания, указывается во время старта задания. В нашем примере значение PID было 164, так что команда kill 164 была бы эквивалентна команде kill %1 . При использовании PID в качестве аргумента команды kill вводить символ «% » не требуется.

Приостановка и продолжение работы заданий

Запустим сначала процесс командой yes на переднем плане, как это делалось раньше:

/home/larry# yes > /dev/null

Как и ранее, поскольку процесс работает на переднем плане, приглашение командной оболочки на экран не возвращается.

Теперь вместо того, чтобы прервать задание комбинацией клавиш Ctrl -C , задание можно приостановить (suspend, буквально - подвесить), отправив ему сигнал STOP . Для приостановки задания надо нажать соответствующую комбинацию клавиш, обычно это Ctrl -Z .

/home/larry# yes > /dev/null Ctrl -Z + Stopped yes >/dev/null /home/larry#

Приостановленный процесс попросту не выполняется. На него не тратятся вычислительные ресурсы процессора. Приостановленное задание можно запустить выполняться с той же точки, как будто бы оно и не было приостановлено.

Для возобновления выполнения задания на переднем плане можно использовать команду fg (от слова foreground - передний план).

/home/larry# fg yes >/dev/null

Командная оболочка ещё раз выведет на экран название команды, так что пользователь будет знать, какое именно задание он в данный момент запустил на переднем плане. Приостановим это задание ещё раз нажатием клавиш Ctrl -Z , но в этот раз запустим его в фоновый режим командой bg (от слова background - фон). Это приведёт к тому, что данный процесс будет работать так, как если бы при его запуске использовалась команда с символом & в конце (как это делалось в предыдущем разделе):

/home/larry# bg + yes $>$/dev/null & /home/larry#

При этом приглашение командной оболочки возвращается. Сейчас команда jobs должна показывать, что процесс yes действительно в данный момент работает; этот процесс можно уничтожить командой kill , как это делалось раньше.

Для того, чтобы приостановить задание, работающее в фоновом режиме, нельзя воспользоваться комбинацией клавиш Ctrl -Z . Прежде, чем приостанавливать задание, его нужно перевести на передний план командой fg и лишь потом приостановить. Таким образом, команду fg можно применять либо к приостановленным заданиям, либо к заданию, работающему в фоновом режиме.

Между заданиями в фоновом режиме и приостановленными заданиями есть большая разница. Приостановленное задание не работает - на него не тратятся вычислительные мощности процессора. Это задание не выполняет никаких действий. Приостановленное задание занимает некоторый объем оперативной памяти компьютера, через некоторое время ядро откачает эту часть памяти на жёсткий диск «до востребования ». Напротив, задание в фоновом режиме выполняется, использует память и совершает некоторые действия, которые, возможно, вам требуются, но вы в это время можете работать с другими программами.

Задания, работающие в фоновом режиме, могут пытаться выводить некоторый текст на экран. Это будет мешать работать над другими задачами.

/home/larry# yes &

Здесь стандартный вывод не был перенаправлен на устройство /dev/null , поэтому на экран будет выводится бесконечный поток символов y . Этот поток невозможно будет остановить, поскольку комбинация клавиш Ctrl -C не воздействует на задания в фоновом режиме. Для того чтобы остановить эту выдачу, надо использовать команду fg , которая переведёт задание на передний план, а затем уничтожить задание комбинацией клавиш Ctrl -C .

Сделаем ещё одно замечание. Обычно командой fg и командой bg воздействуют на те задания, которые были приостановлены последними (эти задания будут помечены символом + рядом с номером задания, если ввести команду jobs ). Если в одно и то же время работает одно или несколько заданий, задания можно помещать на передний план или в фоновый режим, задавая в качестве аргументов команды fg или команды bg их идентификационный номер (job ID). Например, команда fg %2 помещает задание номер 2 на передний план, а команда bg %3 помещает задание номер 3 в фоновый режим. Использовать PID в качестве аргументов команд fg и bg нельзя.

Более того, для перевода задания на передний план можно просто указать его номер. Так, команда %2 будет эквивалентна команде fg %2 .

Важно помнить, что функция управления заданием принадлежит оболочке. Команды fg , bg и jobs являются внутренними командами оболочки. Если, по некоторой причине, вы используете командную оболочку, которая не поддерживает функции управления заданиями, то вы в ней этих (и подобных) команд не отыщете.