1 oblicz limit. Jak liczyć limity. Algorytm obliczania limitów
W tym artykule dowiesz się jak rozwiązywać limity?
Rozwiązywanie granic jest jedną z ważnych części analizy matematycznej i obliczeniowej. Wielu studentów i studentów radzi sobie z tym problemem swobodnie, podczas gdy inni nieustannie zadają to samo pytanie: „Jak rozwiązać limity?” Znalezienie granic to gorący temat. Istnieje wiele sposobów rozwiązywania limitów. Identyczne granice można wyznaczyć zgodnie z prawem de l'Hopitala bez jego pomocy. Najpierw jednak musimy zrozumieć, czym jest limit?
Limit składa się z trzech części
Pierwsza to dobrze znana ikona lim, druga to to, co jest pod nią napisane.
Na przykład: x -> 1. Ten wpis będzie wyglądał następująco (x dąży do 1).
Trzecia część to sama funkcja, która pojawia się po znaku lim.
Chciałbym wyjaśnić, że wartość x dąży do 1, to jest wartość X, w którym X przyjmuje pewne wartości, które są bliskie jedności lub prawie się z nią pokrywają.
Rozwiązywanie granic jest łatwe, jeśli je rozumiesz.
Pierwsza zasada rozwiązywania granic
Jeśli funkcja jest nam przekazana, po prostu wstaw liczbę do funkcji. Są to elementarne ograniczenia, które faktycznie występują w przykładach i to bardzo często.
Czy istnieją granice, gdzie x->? Zatem nieskończoność jest funkcją, w której x rośnie w nieskończoność. Wartość takiej funkcji wynosi (1-x). Aby rozwiązać ten limit, musimy postępować zgodnie z naszą pierwszą zasadą i podstawić wartość (1) do funkcji i uzyskać odpowiedź.
Z powyższego, aby dowiedzieć się, jak rozwiązać najtrudniejsze limity, Należy pamiętać o zasadach rozwiązywania granic elementarnych.
- Zasada pierwsza: Mając daną funkcję, podstawiamy liczbę do funkcji.
- Zasada druga: Mając nieskończoność, podstawiamy (1) do funkcji.
Kiedy to zrozumiesz, natychmiast zaczniesz zauważać elementarne ograniczenia i będziesz w stanie je rozwiązać.Nauczyliśmy się więc, jak rozwiązywać łatwe limity. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązywaniu bardziej złożonych granic.
Istnieje wiele ograniczeń? Jedną z takich opcji jest limit wyświetleń?/?
Taka funkcja jest możliwa, gdy x->?, a granicę wyraża się w postaci ułamka.
Wiele osób zastanawia się, czy łatwo jest rozwiązać taki limit?
Pierwszą rzeczą, o której musisz pamiętać, jest to, że musisz znaleźć x w liczniku według stażu pracy, tj. w największym stopniu ze wszystkich x występujących w liczniku.
lim+(x->?)?((2x^2-3x-4)/(3x^2+1+x))^ ?
Widzimy, że najwyższym stopniem licznika jest 2
Teraz musimy zrobić to samo tylko z mianownikiem. Najwyższa potęga w mianowniku również wynosi 2.
Zasada: Aby rozwiązać tę funkcję, musimy podzielić zarówno dywidendę, jak i dzielnik przez x do najwyższej potęgi w limicie. Gdyby było równe 2. Jeżeli stopień licznika byłby równy 4, a mianownik 2, to wybralibyśmy 4. Bo to jest najwyższy stopień w danej nam funkcji. Widzisz, jak szybko nauczyliśmy się rozwiązywać granice gatunku?/?
Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu najtrudniejszych granic. To jest widok 0/0.
Granice takie bardzo przypominają nam rozwiązanie granic postaci nieskończoności do nieskończoności. Jest jednak różnica, o której należy pamiętać przy podejmowaniu decyzji. Kiedy x dąży do nieskończoności, rośnie w nieskończoność, ale tutaj jest równe 0, tj. skończoną liczbą.
Aby włączyć taką funkcję, powinniśmy i uwzględnij liczniki i mianownik. Aby uzyskać elementarny dyskryminator, znany nam od 6 klasy. Obliczamy dyskryminator i podstawiamy odpowiedzi do naszej funkcji. Znajdujemy ostateczną odpowiedź.
Reguła: Jeśli w liczniku lub mianowniku da się wyjąć jakąś liczbę z danego nawiasu, to bez zastanowienia zdecydowanie ją usuwamy.
Istnieje wiele różnych sposobów rozwiązywania bardziej złożonych granic. Jedną z nich jest metoda zastępcza. Zastąpienie dowolnej zmiennej jest łatwiejsze niż ciągłe faktoring. Bardzo często tę metodę stosuje się do zamiany granicy złożonej na pierwszą granicę niezwykłą.
Przyjrzyjmy się bliżej przykładowi
Przykład: lim+(x->0)?(arctg4x/7x)^ ?
Rozwiązanie: Widzimy, że nasza funkcja jest reprezentowana jako niepewność 0/0, którą już minęliśmy
lim+(x->0)?(arctg4x/7x)^ ? = 0/0
Widzimy arcus tangens w granicy, złą funkcję, której musimy się pozbyć. Będzie to dla nas bardzo wygodne, jeśli zamienimy arcus tangens w jedną prostą i łatwą literę.
Dokonajmy zamiany: zamień arctg na y. W procesie rozwiązywania będziemy odnosić się do arcustangens jako y. Jeśli nasze x dąży do zera, zastąpiliśmy arcus tangens y, a następnie zapisujemy, że y również dąży do zera. W mianowniku pozostaje nam tylko wyrażenie x poprzez y. Aby to zrobić, dodajemy tg do obu stron równości
Wyrażenia przyjmą następującą formę:
tg (arctg4x)=tgy
Po lewej stronie usuwamy dwie funkcje; są one wzajemne i znikają.
Pozostaje nam:
4х = tgy, stąd: x= tgy/4
A teraz pozostają najbardziej podstawowe rzeczy:
lim+(x->0)?(y/(7*tgy/4))^ ?
Zacząć robić. W granicach istnieje nie tylko jedna cudowna granica, ale są ich dwie. Teraz nie tylko zrozumiemy koncepcję drugiej niezwykłej granicy, ale także dowiemy się, jak ją rozwiązać. Istnieje druga niezwykła granica rozwiązywania niepewności w postaci 1^? W matematyce zapisuje się to jako a(x) ->? Ten typ tej funkcji jest najprostszy, są funkcje bardziej złożone, najważniejsze jest to, że dąży ona do nieskończoności.
Należy pamiętać, że gdy tylko nasza granica okaże się stopniem, jest to główny znak, że takie wyrażenie pomoże nam rozwiązać drugą niezwykłą granicę. Teraz omówimy bardziej szczegółowo przykład, który pojawia się bardzo często; radzę szczegółowo go przestudiować.
Dany jest nam limit: lim+(x->?)?((x-2)/(x+1))^(2x+3) ?
Ta granica formy (?/?)^ ?Druga niezwykła granica nie rozwiązuje tego typu, jak wiemy, rozwiązuje postać 1^?, w tym celu naszą funkcję należy przekształcić do innej postaci. W mianowniku widzimy x+1, co oznacza, że licznik również musi mieć x+1
lim+(x->?)?((x+1-3)/(x+1))^(2x+3) ?
Teraz my Konieczne jest podzielenie licznika przez mianownik wyraz po wyrazie. Wtedy nasza podstawa będzie podobna do naszej niepewności, ale przeszkadza nam znak minus. Robimy ułamek z trzema piętrami i widzimy naszą niepewność?/?. I już wiemy jak obliczyć taką funkcję. Podziel obie strony ułamka przez x i gotowe. Mamy odpowiedź.
Chcę wam pogratulować, drodzy czytelnicy, nauczyliście się pokonywać granice. Mam nadzieję, że mój artykuł był pouczający, zabawny i interesujący!
Niepewność dotycząca rodzaju i gatunku to najczęstsze niepewności, które należy ujawnić przy ustalaniu granic.
Większość problemów granicznych napotykanych przez studentów zawiera właśnie takie niepewności. Aby je ujawnić, a dokładniej, aby uniknąć niepewności, istnieje kilka sztucznych technik przekształcania rodzaju wyrażenia pod znakiem granicznym. Technikami tymi są: dzielenie licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej, mnożenie przez wyrażenie koniugatu oraz rozkład na czynniki w celu późniejszej redukcji z wykorzystaniem rozwiązań równań kwadratowych i skróconych wzorów na mnożenie.
Niepewność gatunku
Przykład 1.
N jest równe 2. Dlatego licznik i mianownik dzielimy wyraz po wyrazie przez:
.
Skomentuj prawą stronę wyrażenia. Strzałki i liczby wskazują, jakie ułamki mają tendencję po podstawieniu N czyli nieskończoność. Tutaj, podobnie jak w przykładzie 2, stopień N W mianowniku jest więcej niż w liczniku, w wyniku czego cały ułamek jest zwykle nieskończenie mały lub „super mały”.
Otrzymujemy odpowiedź: granica tej funkcji ze zmienną zmierzającą do nieskończoności jest równa .
Przykład 2. .
Rozwiązanie. Tutaj najwyższa moc zmiennej X jest równe 1. Dlatego dzielimy licznik i mianownik wyraz po wyrazie przez X:
.
Komentarz do przebiegu decyzji. W liczniku wbijamy „x” pod pierwiastek trzeciego stopnia i aby jego pierwotny stopień (1) pozostał niezmieniony, przypisujemy mu ten sam stopień co pierwiastek, czyli 3. Nie ma strzałek ani dodatkowych liczb w tym wpisie, więc spróbuj w myślach, ale analogicznie do poprzedniego przykładu, ustal, do czego zmierzają wyrażenia w liczniku i mianowniku po podstawieniu nieskończoności zamiast „x”.
Otrzymaliśmy odpowiedź: granica tej funkcji ze zmienną zmierzającą do nieskończoności jest równa zeru.
Niepewność gatunku
Przykład 3. Odkryj niepewność i znajdź granicę.
Rozwiązanie. Licznik to różnica sześcianów. Rozłóżmy to na czynniki, korzystając ze skróconego wzoru na mnożenie ze szkolnego kursu matematyki:
W mianowniku znajduje się trójmian kwadratowy, który rozłożymy na czynniki rozwiązując równanie kwadratowe (jeszcze raz nawiązanie do rozwiązywania równań kwadratowych):
Zapiszmy wyrażenie uzyskane w wyniku przekształceń i znajdźmy granicę funkcji:
Przykład 4. Odblokuj niepewność i znajdź granicę
Rozwiązanie. Twierdzenie graniczne ilorazu nie ma tutaj zastosowania, ponieważ
Dlatego ułamek przekształcamy identycznie: mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie dwumianowe do mianownika i zmniejszamy przez X+1. Zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1 otrzymujemy wyrażenie, rozwiązując które znajdujemy pożądaną granicę:
Przykład 5. Odblokuj niepewność i znajdź granicę
Rozwiązanie. Bezpośrednie podstawienie wartości X= 0 do danej funkcji prowadzi do niepewności postaci 0/0. Aby to ujawnić, wykonujemy identyczne przekształcenia i ostatecznie uzyskujemy pożądaną granicę: 
Przykład 6. Oblicz 
Rozwiązanie: Skorzystajmy z twierdzeń o granicach
Odpowiedź: 11
Przykład 7. Oblicz 
Rozwiązanie: w tym przykładzie granice licznika i mianownika są równe 0:
; 
. Otrzymaliśmy zatem, że twierdzenie o granicy ilorazu nie może być zastosowane.
Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki, aby zredukować ułamek przez wspólny czynnik dążący do zera, a tym samym umożliwić zastosowanie Twierdzenia 3.
Rozwińmy trójmian kwadratowy w liczniku, korzystając ze wzoru , gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami trójmianu. Po rozłożeniu na czynniki i mianowniku zmniejsz ułamek o (x-2), a następnie zastosuj Twierdzenie 3.
Odpowiedź:
Przykład 8. Oblicz
Rozwiązanie: Zatem, gdy licznik i mianownik dążą do nieskończoności, stosując bezpośrednio Twierdzenie 3, otrzymujemy wyrażenie , które reprezentuje niepewność. Aby pozbyć się niepewności tego typu należy podzielić licznik i mianownik przez największą potęgę argumentu. W tym przykładzie musisz podzielić przez X:
Odpowiedź:
Przykład 9. Oblicz 
Rozwiązanie: x 3:
Odpowiedź: 2
Przykład 10. Oblicz 
Rozwiązanie: Gdy licznik i mianownik dążą do nieskończoności. Podzielmy licznik i mianownik przez największą potęgę argumentu, tj. x 5:
Licznik ułamka dąży do 1, mianownik dąży do 0, więc ułamek dąży do nieskończoności.
Odpowiedź:
Przykład 11. Oblicz
Rozwiązanie: Gdy licznik i mianownik dążą do nieskończoności. Podzielmy licznik i mianownik przez największą potęgę argumentu, tj. x 7:
Odpowiedź: 0
Pochodna.
Pochodna funkcji y = f(x) po argumencie x nazywa się granicą stosunku jego przyrostu y do przyrostu x argumentu x, gdy przyrost argumentu dąży do zera: . Jeśli ta granica jest skończona, to funkcja y = f(x) mówi się, że jest różniczkowalna w punkcie x. Jeśli ta granica istnieje, to mówią, że funkcja y = f(x) ma nieskończoną pochodną w punkcie x.
Pochodne podstawowych funkcji elementarnych:
1. (stała)=0 9. 
3. 11. 
4. 12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Zasady różnicowania:
A) 
V) 
Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji 
Rozwiązanie: Jeżeli pochodną drugiego wyrazu znajdziemy stosując zasadę różniczkowania ułamków, to pierwszy wyraz jest funkcją zespoloną, której pochodną wyznacza się według wzoru:
, Gdzie 
, Następnie
Przy rozwiązywaniu wykorzystano następujące wzory: 1,2,10,a,c,d.
Odpowiedź:
Przykład 21. Znajdź pochodną funkcji 
Rozwiązanie: oba terminy są funkcjami złożonymi, gdzie dla pierwszego , , a dla drugiego , to
Odpowiedź: 
Aplikacje pochodne.
1. Prędkość i przyspieszenie
Niech funkcja s(t) opisuje pozycja obiekt w pewnym układzie współrzędnych w chwili t. Wtedy pierwsza pochodna funkcji s(t) jest chwilowa prędkość obiekt:
v=s′=f′(t)
Druga pochodna funkcji s(t) reprezentuje chwilowość przyśpieszenie obiekt:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Równanie styczne
y-y0=f′(x0)(x-x0),
gdzie (x0,y0) to współrzędne punktu stycznego, f′(x0) to wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie stycznym.
3. Normalne równanie
y-y0=-1f′(x0)(x-x0),
gdzie (x0,y0) to współrzędne punktu, w którym rysowana jest normalna, f′(x0) to wartość pochodnej funkcji f(x) w tym punkcie.
4. Funkcja rosnąca i malejąca
Jeżeli f′(x0)>0, to funkcja rośnie w punkcie x0. Na poniższym rysunku funkcja rośnie wraz ze wzrostem x
Jeśli f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Ekstrema lokalne funkcji
Funkcja f(x) ma maksimum lokalne w punkcie x1, jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu x1, że dla wszystkich x z tego otoczenia zachodzi nierówność f(x1)≥f(x).
Podobnie ma funkcja f(x). minimum lokalne w punkcie x2, jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu x2, że dla wszystkich x z tego otoczenia zachodzi nierówność f(x2)≤f(x).
6. Punkt krytyczny
Punkt x0 to punkt krytyczny funkcja f(x), jeżeli w niej pochodna f′(x0) jest równa zeru lub nie istnieje.
7. Pierwszy wystarczający znak istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f(x) rośnie (f′(x)>0) dla wszystkich x w pewnym przedziale (a,x1] i maleje (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) dla wszystkich x z przedziału )