Współczynnik korelacji znaku (współczynnik Fechnera). Współczynnik Fechnera (współczynnik korelacji znaku) Stosowany jest współczynnik korelacji znaku Fechnera

29.12.2023

współczynnik Fechnera- jest to ocena stopnia zgodności kierunków odchyleń poszczególnych wartości współczynnika i charakterystyk wypadkowych od wartości średnich współczynnika i charakterystyk wypadkowych. Współczynnik Fechnera, wraz ze współczynnikami Spearmana i współczynnikiem Kandela, odnosi się do współczynniki korelacji znaków. Współczynnik korelacji znaków opiera się na ocenie stopnia zgodności kierunków odchyleń poszczególnych wartości współczynnika i znaków wynikowych z odpowiadających im średnich. Oblicza się go w następujący sposób:

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K f ">Oblicz swoją wartość

Współczynnik Fechnera może przyjmować wartości od –1 do +1. Kf = 1 wskazuje na możliwą obecność bezpośredniego połączenia, Kf = -1 wskazuje na możliwą obecność sprzężenia zwrotnego.

Cel usługi. Usługa ta przeznaczona jest do obliczania współczynnika Fechnera online. Określane jest również znaczenie tego współczynnika.

Instrukcje. Określ ilość danych (liczbę wierszy), kliknij Dalej. Powstałe rozwiązanie jest zapisywane w pliku Word. Automatycznie tworzony jest także szablon do testowania rozwiązania w Excelu.

Obliczanie współczynnika Fechnera składa się z następujących kroków:

Określane są średnie wartości dla każdej cechy (X i Y).
Wyznacza się oznaki odchyleń (-,+) od wartości średniej każdej z cech.
Jeśli znaki się zgadzają, przypisz wartość A, w przeciwnym razie B.
Liczbę A i B oblicza się, obliczając współczynnik Fechnera ze wzoru: K f = (n a - n b)/(n a + n b) gdzie n a to liczba zbieżności znaków odchyleń poszczególnych wartości od średniej ; n b - liczba niedopasowań.

współczynnik Fechnera zmienia się w granicach [-1;+1] i służy do oceny bliskości związku między cechami jakościowymi (metody nieparametryczne).

Graficzne przedstawienie współczynnika Fechnera

Przykład nr 1. Opracowując roztwór glinki o zmniejszonej utracie płynu w warunkach wysokiej temperatury, równolegle badano dwa preparaty, z których jeden zawierał 2% CMC i 1% Na2CO3, a drugi 2% CMC, 1% Na2CO3 i 0,1% dwuchromianu potasu. W efekcie uzyskano następujące wartości X (ubytek wody po 30 s).

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Sprawdza, czy badane rozwiązania wyróżniają się wartością ubytku płynu.

Przykład nr 2. Współczynnik korelacji znaku, czyli współczynnik Fechnera, opiera się na ocenie stopnia zgodności w kierunkach odchyleń poszczególnych wartości współczynnika i charakterystyk wynikowych od odpowiednich średnich. Oblicza się go w następujący sposób:

gdzie n a to liczba dopasowań znaków odchyleń poszczególnych wartości od średniej; n b - liczba niedopasowań.

współczynnik Fechnera może przyjmować wartości od -1 do +1. Kf = 1 wskazuje na możliwą obecność bezpośredniego połączenia, Kf = -1 wskazuje na możliwą obecność sprzężenia zwrotnego.

Przykład nr 2
Spójrzmy na przykład obliczenia współczynnika Fechnera na podstawie danych podanych w tabeli:
Wartości średnie:

Oznaki odchyleń od średniej X	Oznaki odchyleń od średniej Y	Dopasuj (a) lub niezgodne (b) znaki

Wartość współczynnika wskazuje, że można założyć obecność sprzężenia zwrotnego.

Oszacowanie współczynnika korelacji znaku.

Aby oszacować współczynnik Fechnera, wystarczy ocenić jego istotność i znaleźć przedział ufności.
Znaczenie współczynnika Fechnera.

Korzystając z tabeli Studenta znajdujemy tabelę t:
tabela t (n-m-1;a) = (6;0,05) = 1,943
Ponieważ Tob > ttable, odrzucamy hipotezę, że współczynnik korelacji znakowej jest równy 0. Inaczej mówiąc, współczynnik Fechnera jest istotny statystycznie.

Przedział ufności dla współczynnika Fechnera:
r(-1,0;-0,4495)

Przykład nr 3.
Spójrzmy na przykład obliczenia współczynnika korelacji znaku na podstawie danych podanych w tabeli.

Krótka teoria

Do najprostszych wskaźników bliskości połączenia zalicza się współczynnik korelacji znaku, który zaproponował niemiecki naukowiec G. Fechner. Wskaźnik ten opiera się na ocenie stopnia zgodności kierunków odchyleń poszczególnych wartości współczynnika i charakterystyk wynikowych z odpowiadających im średnich. Aby to obliczyć, oblicza się wartości średnie charakterystyki wypadkowej i czynnikowej, a następnie przypisuje się znaki odchylenia wszystkim wartościom powiązanych ze sobą par cech.

Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenia: – liczbę zbieżności znaków odchyleń poszczególnych wartości od średniej, – liczbę niedopasowań znaków odchyleń, wówczas współczynnik Fechnera można zapisać następująco:

Współczynnik Fechnera może przyjmować różne wartości w zakresie od -1 do +1. Jeśli znaki wszystkich odchyleń pokrywają się, wskaźnik będzie równy 1, co wskazuje na możliwą obecność bezpośredniego połączenia. Jeżeli znaki wszystkich odchyleń są różne, wówczas współczynnik Fechnera będzie równy -1, co sugeruje obecność sprzężenia zwrotnego.

Przykład rozwiązania problemu

Zadanie

Dostępne są dane dotyczące pogłowia bydła w 12 gospodarstwach rolnych według stanu na 1 stycznia oraz średniej rocznej wydajności mlecznej od krowy. Określ częstotliwość powiązań między tymi czynnikami, korzystając ze współczynnika korelacji Fechnera.

Liczba przedsiębiorstw rolniczych

1.2

35.8

1.6

30.0

2.8

34.8

1.8

31.3

2.9

36.9

37.1

1.6

27.9

1.7

30.0

2.6

35.8

1.3

32.1

29.1

3.3

34.3

Rozwiązanie problemu

Stwórzmy tabelę obliczeniową:

Liczba przedsiębiorstw rolniczych

Stan bydła na dzień 1 stycznia tys. sztuk

Średnia roczna wydajność mleka od krowy, kg

1.2

35.8

1.44

1281.64

42.96

1.6

2.56

900

2.8

34.8

7.84

1211.04

97.44

1.8

31.3

3.24

979.69

56.34

2.9

36.9

8.41

1361.61

107.01

37.1

1376.41

111.3

1.6

27.9

2.56

778.41

44.64

1.7

2.89

900

2.6

35.8

6.76

1281.64

93.08

1.3

32.1

1.69

1030.41

41.73

29.1

846.81

58.2

3.3

34.3

10.89

1176.49

113.19

Całkowity

25.8

395.1

61.28

13124.15

864.89

Współczynnik Fechnera można obliczyć ze wzoru:

Liczba zbieżności znaków odchyleń poszczególnych wartości od średniej, - liczba niezgodności znaków odchyleń

1.2 35.8 1.6 30 2.8 34.8 1.8 31.3 2.9 36.9 3 37.1 1.6 27.9 1.7 30 2.6 35.8 1.3 32.1 2 29.1 3.3 34.3

Oznaki odchyleń od średniej

Dopasowanie (lub niedopasowanie znaków

Zazwyczaj ta wartość wskaźnika bliskości połączenia charakteryzuje się silną zależnością, należy jednak pamiętać, że ponieważ współczynnik zależy tylko od znaków i nie uwzględnia wielkości samych odchyleń i ich średniej wartości, praktycznie charakteryzuje nie tyle bliskość powiązania, ile raczej jego obecność i kierunek.

Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Pomoc online przy egzaminach/testach jest dostępna po wcześniejszym umówieniu się.

Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po uprzednim przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o terminach potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.

Współczynnik korelacji, zaproponowany w drugiej połowie XIX wieku przez G. T. Fechnera, jest najprostszą miarą związku między dwiema zmiennymi. Opiera się na porównaniu dwóch cech psychologicznych X I I y I, mierzone na tej samej próbce, porównując znaki odchyleń poszczególnych wartości od średniej: i
. Wniosek o korelacji pomiędzy dwiema zmiennymi wyciąga się na podstawie zliczenia liczby dopasowań i niedopasowań tych znaków.

Przykład

Pozwalać X I I y I– dwie cechy mierzone na tej samej próbie osób. Aby obliczyć współczynnik Fechnera, należy obliczyć wartości średnie dla każdej cechy, a także dla każdej wartości zmiennej - znak odchylenia od średniej (tabela 8.1):

Tabela 8.1

X I	y I	Przeznaczenie

Na stole: A– zbieżność znaków, B– niedopasowanie znaków; N a – liczba dopasowań, N b – liczba niedopasowań (w tym przypadku N a = 4, N b = 6).

Współczynnik korelacji Fechnera oblicza się ze wzoru:

(8.1)

W tym przypadku:

Wniosek

Pomiędzy badanymi zmiennymi istnieje słaba ujemna zależność.

Należy zaznaczyć, że współczynnik korelacji Fechnera nie jest kryterium dostatecznie rygorystycznym, dlatego można go stosować jedynie na wstępnym etapie przetwarzania danych i do formułowania wstępnych wniosków.

8. 4. Współczynnik korelacji Pearsona

Oryginalną zasadą współczynnika korelacji Pearsona jest wykorzystanie iloczynu momentów (odchyłek wartości zmiennej od wartości średniej):

Jeśli suma iloczynów momentów jest duża i dodatnia, to X I Na są bezpośrednio powiązane; jeśli suma jest duża i ujemna, to X I Na silnie odwrotnie powiązane; wreszcie, jeśli nie ma połączenia pomiędzy X I Na suma iloczynów momentów jest bliska zeru.

Aby mieć pewność, że statystyki nie zależą od wielkości próby, przyjmuje się wartość średnią, a nie sumę iloczynów momentów. Podziału nie dokonuje się jednak według liczebności próby, lecz według liczby stopni swobody N - 1.

Ogrom
jest miarą związku pomiędzy X I Na i nazywa się kowariancją X I Na.

W wielu zagadnieniach nauk przyrodniczych i technicznych kowariancja jest całkowicie zadowalającą miarą powiązania. Jego wadą jest to, że zakres jego wartości nie jest stały, tzn. może zmieniać się w nieokreślonych granicach.

Aby ujednolicić miarę asocjacji, należy uwolnić kowariancję od wpływu odchyleń standardowych. Aby to zrobić, musisz podzielić S xy NA S x i S ty:

(8.3)

Gdzie R xy- współczynnik korelacji, czyli iloczyn momentów Pearsona.

Ogólny wzór na obliczenie współczynnika korelacji jest następujący:

(niektóre konwersje)

(8.4)

Wpływ konwersji danych na R xy:

1. Przekształcenia liniowe X I y typ bx + A I dy + C nie zmieni wielkości korelacji pomiędzy X I y.

2. Przekształcenia liniowe X I y Na B < 0, D> 0, a także kiedy B> 0 i D < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

Wiarygodność (lub inaczej istotność statystyczną) współczynnika korelacji Pearsona można określić na różne sposoby:

Zgodnie z tabelami wartości krytycznych współczynników korelacji Pearsona i Spearmana (patrz załącznik, tabela XIII). Jeżeli wartość uzyskana w obliczeniach R xy przekracza wartość krytyczną (tabelaryczną) dla danej próbki, współczynnik Pearsona uznaje się za istotny statystycznie. Liczba stopni swobody w tym przypadku odpowiada N– 2, gdzie N– liczba par porównywanych wartości (wielkość próby).

Zgodnie z tabelą XV załącznika zatytułowaną „Liczba par wartości wymaganych do statystycznej istotności współczynnika korelacji”. W takim przypadku należy skupić się na uzyskanym w obliczeniach współczynniku korelacji. Uznaje się, że jest istotny statystycznie, jeśli liczebność próby jest równa lub większa niż tabelaryczna liczba par wartości dla danego współczynnika.

Według współczynnika Studenta, który oblicza się jako stosunek współczynnika korelacji do jego błędu:

(8.5)

Błąd współczynnika korelacji oblicza się za pomocą następującego wzoru:

Gdzie M r - błąd współczynnika korelacji, R- Współczynnik korelacji; N- liczba porównywanych par.

Rozważmy procedurę obliczeń i określenia istotności statystycznej współczynnika korelacji Pearsona na przykładzie rozwiązania następującego problemu.

Zadanie

22 uczniów szkół ponadgimnazjalnych przebadano dwoma testami: USK (poziom kontroli subiektywnej) i MkU (motywacja do sukcesu). Otrzymano następujące wyniki (tabela 8.2):

Tabela 8.2

	USK ( X I)	MkU ( y I)		USK ( X I)	MkU ( y I)

Ćwiczenia

Sprawdzenie hipotezy, że osoby o wysokim poziomie wewnętrzności (wynik USC) charakteryzują się wysokim poziomem motywacji do osiągnięcia sukcesu.

Rozwiązanie

1. Współczynnik korelacji Pearsona wykorzystujemy w następującej modyfikacji (patrz wzór 8.4):

Dla wygody przetwarzania danych na mikrokalkulatorze (w przypadku braku niezbędnego programu komputerowego) zaleca się utworzenie pośredniej tabeli roboczej o następującej postaci (tabela 8.3):

Tabela 8.3

X I y I

X 1 y 1

X 2 y 2

X 3 y 3

X N y N

Σ X I y I

2. Wykonujemy obliczenia i podstawiamy wartości do wzoru:

3. Istotność statystyczną współczynnika korelacji Pearsona wyznaczamy na trzy sposoby:

Pierwsza metoda:

W tabeli Załącznik XIII znajdujemy wartości krytyczne współczynnika dla 1. i 2. poziomu istotności: R kr.= 0,42; 0,54 (ν = N – 2 = 20).

Dochodzimy do wniosku, że R xy > R kr . , czyli korelacja jest istotna statystycznie dla obu poziomów.

druga metoda:

Skorzystajmy z tabeli. XV, w którym wyznaczamy liczbę par wartości (liczbę badanych) wystarczającą do istotności statystycznej współczynnika korelacji Pearsona równego 0,58: dla 1., 2. i 3. poziomu istotności jest to odpowiednio 12, 18 i 28 .

Stąd wnioskujemy, że współczynnik korelacji jest istotny dla 1. i 2. poziomu istotności, ale „nie osiąga” 3. poziomu istotności.

Trzecia metoda:

Obliczamy błąd współczynnika korelacji i współczynnika Studenta jako stosunek współczynnika Pearsona do błędu:

W tabeli X znajdujemy standardowe wartości współczynnika Studenta dla 1., 2. i 3. poziomu istotności z liczbą stopni swobody ν = N – 2 = 20: T kr. = 2,09; 2,85; 3,85.

Wniosek ogólny

Korelacja pomiędzy wskaźnikami testów USC i MkU jest istotna statystycznie dla I i II poziomu istotności.

Notatka:

Interpretując współczynnik korelacji Pearsona, należy wziąć pod uwagę następujące punkty:

Współczynnik Pearsona można stosować w różnych skalach (ilorazowych, przedziałowych lub porządkowych) z wyjątkiem skali dychotomicznej.

Korelacja nie zawsze oznacza związek przyczynowo-skutkowy. Innymi słowy, jeśli stwierdziliśmy, powiedzmy, dodatnią korelację między wzrostem i masą ciała w grupie badanych, nie oznacza to, że wzrost zależy od masy ciała i odwrotnie (obie te cechy zależą od trzeciej (zewnętrznej) zmiennej, która w tym przypadku wiąże się z genetycznymi cechami konstytucyjnymi danej osoby).

R xu » 0 można zaobserwować nie tylko przy braku połączenia pomiędzy X I y, ale także w przypadku silnego połączenia nieliniowego (ryc. 8.2 a). W tym przypadku korelacje ujemne i dodatnie równoważą się, co daje iluzję braku powiązania.

R xy może być dość mały, jeśli istnieje między nimi silne połączenie X I Na obserwowane w węższym zakresie wartości niż badany (ryc. 8.2 b).

Łączenie próbek o różnych średnich może stworzyć iluzję dość wysokiej korelacji (ryc. 8.2 c).

y I y I y I

+ + . .

X I X I X I

Ryż. 8.2. Możliwe źródła błędów przy interpretacji wartości współczynnika korelacji (objaśnienia w tekście (uwagi pkt. 3 – 5))

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K f ">Oblicz swoją wartość

Cel usługi. Usługa ta przeznaczona jest do obliczania współczynnika Fechnera online. Określane jest również znaczenie tego współczynnika.

Obliczanie współczynnika Fechnera składa się z następujących kroków:

Określane są średnie wartości dla każdej cechy (X i Y).
Wyznacza się oznaki odchyleń (-,+) od wartości średniej każdej z cech.
Jeśli znaki się zgadzają, przypisz wartość A, w przeciwnym razie B.
Liczbę A i B oblicza się, obliczając współczynnik Fechnera ze wzoru: K f = (n a - n b)/(n a + n b) gdzie n a to liczba zbieżności znaków odchyleń poszczególnych wartości od średniej ; n b - liczba niedopasowań.

współczynnik Fechnera zmienia się w granicach [-1;+1] i służy do oceny bliskości związku między cechami jakościowymi (metody nieparametryczne).

Graficzne przedstawienie współczynnika Fechnera

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Sprawdza, czy badane rozwiązania wyróżniają się wartością ubytku płynu.

gdzie n a to liczba dopasowań znaków odchyleń poszczególnych wartości od średniej; n b - liczba niedopasowań.

Przykład nr 2
Spójrzmy na przykład obliczenia współczynnika Fechnera na podstawie danych podanych w tabeli:
Wartości średnie:

Oznaki odchyleń od średniej X	Oznaki odchyleń od średniej Y	Dopasuj (a) lub niezgodne (b) znaki

Wartość współczynnika wskazuje, że można założyć obecność sprzężenia zwrotnego.

Oszacowanie współczynnika korelacji znaku.

Aby oszacować współczynnik Fechnera, wystarczy ocenić jego istotność i znaleźć przedział ufności.
Znaczenie współczynnika Fechnera.

Przedział ufności dla współczynnika Fechnera:
r(-1,0;-0,4495)

Przykład nr 3.
Spójrzmy na przykład obliczenia współczynnika korelacji znaku na podstawie danych podanych w tabeli.

Aby wyeliminować brak kowariancji, wprowadzono współczynnik korelacji liniowej (lub współczynnik korelacji Pearsona), który został opracowany przez Karla Pearsona, Francisa Edgewortha i Raphaela Weldona (angielski) Rosjanin. w latach 90-tych XIX wieku. Współczynnik korelacji oblicza się ze wzoru:

Gdzie , - średnia wartość próbek.

Współczynnik korelacji waha się od minus jeden do plus jeden.

Współczynnik korelacji rang Kendalla

Służy do identyfikacji zależności między wskaźnikami ilościowymi lub jakościowymi, jeśli można je uszeregować. Wartości wskaźnika X wyświetlane są w kolejności rosnącej i z przypisanymi rangami. Wartości wskaźnika Y są szeregowane i obliczany jest współczynnik korelacji Kendalla:

duży wartość rang Y.

Całkowita liczba obserwacji następujących po bieżących obserwacjach za pomocą mniejszy wartość rang Y. (równe rangi nie są brane pod uwagę!)

Współczynnik korelacji rang Spearmana

Stopień zależności dwóch zmiennych losowych (cech) X i Y można scharakteryzować na podstawie analizy uzyskanych wyników. Każdemu wskaźnikowi X i Y przypisana jest ranga. Szeregi wartości X są ułożone w porządku naturalnym i=1, 2, . . ., N. Rangę Y zapisuje się jako Ri i odpowiada rangi pary (X, Y), dla której ranga X jest równa i. Na podstawie uzyskanych rang X i Yi oblicza się ich różnice i oblicza współczynnik korelacji Spearmana:

Wartość współczynnika waha się od -1 (kolejność rang jest całkowicie odwrotna) do +1 (kolejność rang jest całkowicie identyczna). Wartość zerowa oznacza, że cechy są niezależne.

Współczynnik korelacji znaku Fechnera

Liczona jest liczba zbiegów okoliczności i niezbieżności oznak odchyleń wartości wskaźników od ich wartości średniej.

C to liczba par, których znaki odchyleń wartości od ich średnich pokrywają się.

H to liczba par, dla których znaki odchyleń wartości od ich średnich nie pokrywają się.

Literatura: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F0%F0%E5%EB%FF%F6%E8%FF

9. obliczyć współczynnik korelacji Spearmana.

Ocena zależności pomiędzy wskaźnikami: X – miejsce zajmowane w strzelectwie karabinowym; Y – liczba trafień w pierwszej dziesiątce. Wszystkie pozostałe warunki są w przybliżeniu takie same. Wyniki konkursu przedstawiono w tabeli nr 1

Tabela nr 1 Obliczenie współczynnika korelacji rang Spearmana.

Wyjaśnienie:

krok 1. Uszereguj (uporządkuj i przypisz numery seryjne) wskaźnikom X i Y. Ponieważ X jest uporządkowane i oznacza odpowiadające im rangi, przepisujemy je w kolumnie 3. Wskaźnikowi Y przypisujemy rangi w następujący sposób: wartość 10 – ranga 1; 9 – ranga (2+3)/2=2,5; 8 – ranga 4; 7 – ranga 5 itd. (kolumna 4)

krok 2. oblicz różnicę rang d=Dx-Dy (kolumna 5)

krok 3. oblicz kwadrat różnicy d=(Dx-Dy)2 (kolumna 6)

krok 4. oblicz sumę kwadratów różnicy

Graficzne przedstawienie współczynnika Fechnera

Oszacowanie współczynnika korelacji znaku.

Zadanie

Rozwiązanie problemu

8. 4. Współczynnik korelacji Pearsona

Graficzne przedstawienie współczynnika Fechnera

Oszacowanie współczynnika korelacji znaku.

Współczynnik korelacji rang Spearmana

Współczynnik korelacji znaku Fechnera