Hver partiell derivat (av x og av y) av en funksjon av to variabler er den ordinære deriverte av en funksjon av en variabel for en fast verdi av den andre variabelen:

(Hvor y= konst),

(Hvor x= konst).

Derfor beregnes partielle derivater vha formler og regler for å beregne deriverte av funksjoner til én variabel, mens den andre variabelkonstanten vurderes.

Hvis du ikke trenger en analyse av eksempler og minimumsteorien som kreves for dette, men bare trenger en løsning på problemet ditt, så gå til online delvis derivatkalkulator .

Hvis det er vanskelig å konsentrere seg for å holde styr på hvor konstanten er i funksjonen, så i utkastet til løsningen i eksempelet, i stedet for en variabel med en fast verdi, kan du erstatte et hvilket som helst tall - da kan du raskt beregne den partielle deriverte som den ordinære deriverte av en funksjon av én variabel. Du trenger bare å huske å returnere konstanten (en variabel med en fast verdi) til sin plass når du fullfører det endelige designet.

Egenskapen til partielle derivater beskrevet ovenfor følger av definisjonen av en delvis derivativ, som kan forekomme i eksamensspørsmål. Derfor, for å gjøre deg kjent med definisjonen nedenfor, kan du åpne den teoretiske referansen.

Konsept om funksjonskontinuitet z= f(x, y) ved et punkt er definert på samme måte som dette konseptet for en funksjon av en variabel.

Funksjon z = f(x, y) kalles kontinuerlig i et punkt if

Differanse (2) kalles den totale økningen av funksjonen z(det oppnås som et resultat av økninger av begge argumentene).

La funksjonen være gitt z= f(x, y) og punktum

Hvis funksjonen endres z oppstår når bare ett av argumentene endres, for eksempel x, med en fast verdi for et annet argument y, vil funksjonen motta en økning

kalt delvis økning av funksjon f(x, y) Av x.

Vurderer en funksjonsendring z avhengig av å endre bare ett av argumentene, endrer vi effektivt til en funksjon av én variabel.

Hvis det er en begrenset grense

da kalles det den partielle deriverte av funksjonen f(x, y) ved argument x og er indikert med et av symbolene

(4)

Den delvise økningen bestemmes på samme måte z Av y:

og delvis derivat f(x, y) Av y:

(6)

Eksempel 1.

Løsning. Vi finner den partielle deriverte med hensyn til variabelen "x":

(y fikset);

Vi finner den partielle deriverte med hensyn til variabelen "y":

(x fikset).

Som du kan se, spiller det ingen rolle i hvilken grad variabelen er fiksert: i dette tilfellet er det ganske enkelt et visst tall som er en faktor (som i tilfellet med den ordinære deriverte) av variabelen som vi finner den partielle deriverte med . Hvis den faste variabelen ikke multipliseres med variabelen som vi finner den partielle deriverte med, så forsvinner denne ensomme konstanten, uansett i hvilken grad, som i tilfellet med den ordinære deriverte.

Eksempel 2. Gitt en funksjon

Finn partielle derivater

(ved X) og (ved Y) og beregn verdiene deres ved punktet EN (1; 2).

Løsning. På fast y den deriverte av det første leddet er funnet som den deriverte av potensfunksjonen ( tabell over deriverte funksjoner av én variabel):

.

På fast x den deriverte av det første leddet er funnet som den deriverte av eksponentialfunksjonen, og den andre - som den deriverte av en konstant:

La oss nå beregne verdiene til disse partielle derivatene på punktet EN (1; 2):

Du kan sjekke løsningen på delvise derivatproblemer på online delvis derivatkalkulator .

Eksempel 3. Finn partielle deriverte av funksjoner

Løsning. I ett trinn finner vi

(y x, som om argumentet for sinus var 5 x: på samme måte vises 5 før funksjonstegnet);

(x er fast og er i dette tilfellet en multiplikator på y).

Du kan sjekke løsningen på delvise derivatproblemer på online delvis derivatkalkulator .

De partielle deriverte av en funksjon av tre eller flere variabler er definert på samme måte.

Hvis hvert sett med verdier ( x; y; ...; t) uavhengige variabler fra settet D tilsvarer én bestemt verdi u fra mange E, Det u kalt en funksjon av variabler x, y, ..., t og betegne u= f(x, y, ..., t).

For funksjoner av tre eller flere variabler er det ingen geometrisk tolkning.

Partielle deriverte av en funksjon av flere variabler bestemmes og beregnes også under forutsetning av at kun én av de uavhengige variablene endres, mens de andre er faste.

Eksempel 4. Finn partielle deriverte av funksjoner

.

Løsning. y Og z fikset:

x Og z fikset:

x Og y fikset:

Finn partielle derivater selv og se deretter på løsningene

Eksempel 5.

Eksempel 6. Finn partielle deriverte av en funksjon.

Den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler har det samme mekanisk betydning er det samme som den deriverte av en funksjon av en variabel, er endringshastigheten til funksjonen i forhold til en endring i ett av argumentene.

Eksempel 8. Kvantitativ verdi av flyt P jernbanepassasjerer kan uttrykkes ved funksjonen

Hvor P– antall passasjerer, N– antall innbyggere i korrespondentpunkter, R– avstand mellom punktene.

Partiell derivert av en funksjon P Av R, lik

viser at nedgangen i passasjerstrømmen er omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden mellom tilsvarende punkter med samme antall innbyggere i poeng.

Delvis avledet P Av N, lik

viser at økningen i passasjerstrømmen er proporsjonal med det dobbelte av antall innbyggere i tettsteder med samme avstand mellom punktene.

Du kan sjekke løsningen på delvise derivatproblemer på online delvis derivatkalkulator .

Full differensial

Produktet av en partiell derivert og økningen av den tilsvarende uavhengige variabelen kalles en partiell differensial. Partielle differensialer er angitt som følger:

Summen av partielle differensialer for alle uavhengige variabler gir den totale differensialen. For en funksjon av to uavhengige variabler uttrykkes den totale differensialen ved likheten

(7)

Eksempel 9. Finn hele differensialen til en funksjon

Løsning. Resultatet av å bruke formel (7):

En funksjon som har en total differensial på hvert punkt i et bestemt domene sies å være differensierbar i det domenet.

Finn den totale differensialen selv og se deretter på løsningen

Akkurat som i tilfellet med en funksjon av en variabel, innebærer differensierbarheten til en funksjon i et bestemt domene dens kontinuitet i dette domenet, men ikke omvendt.

La oss formulere uten bevis en tilstrekkelig betingelse for differensierbarheten til en funksjon.

Teorem. Hvis funksjonen z= f(x, y) har kontinuerlige partielle derivater

i en gitt region, så er den differensierbar i denne regionen og dens differensial uttrykkes med formel (7).

Det kan vises at akkurat som for en funksjon av en variabel, er differensialen til funksjonen den viktigste lineære delen av inkrementet til funksjonen, slik er den totale differensialen i tilfellet med en funksjon av flere variabler. den viktigste, lineære med hensyn til inkrementene til uavhengige variabler, en del av den totale økningen av funksjonen.

For en funksjon av to variabler har den totale økningen av funksjonen formen

(8)

hvor α og β er uendelig ved og .

Høyere ordens partielle derivater

Partielle derivater og funksjoner f(x, y) i seg selv er noen funksjoner av de samme variablene og kan i sin tur ha deriverte med hensyn til forskjellige variabler, som kalles partielle deriverte av høyere orden.

Tenk på en funksjon av to variabler:

Siden variablene $x$ og $y$ er uavhengige, kan vi for en slik funksjon introdusere begrepet partiell derivert:

Den partielle deriverte av funksjonen $f$ i punktet $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ med hensyn til variabelen $x$ er grensen

\[(((f)")_(x))=\undersett(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

På samme måte kan du definere den partielle deriverte med hensyn til variabelen $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Med andre ord, for å finne den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler, må du fikse alle andre variabler bortsett fra den ønskede, og deretter finne den ordinære deriverte med hensyn til denne ønskede variabelen.

Dette fører til hovedteknikken for å beregne slike deriverte: bare anta at alle variabler bortsett fra denne er en konstant, og differensier deretter funksjonen slik du ville differensiert en "vanlig" - med en variabel. For eksempel:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\venstre(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \venstre(((x)^(2))+10xy \høyre))_(y))^(\prime )=((\venstre(((x)^(2)) \høyre))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\venstre(y \høyre))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Det er klart at partielle deriverte med hensyn til forskjellige variabler gir forskjellige svar - dette er normalt. Det er mye viktigere å forstå hvorfor, for eksempel, i det første tilfellet fjernet vi rolig $10y$ fra under det deriverte tegnet, og i det andre tilfellet nullet vi den første termen fullstendig. Alt dette skjer på grunn av det faktum at alle bokstaver, bortsett fra variabelen som differensiering utføres med, betraktes som konstanter: de kan tas ut, "brennes", etc.

Hva er "delvis avledet"?

I dag skal vi snakke om funksjoner til flere variabler og partielle derivater av dem. For det første, hva er en funksjon av flere variabler? Til nå er vi vant til å betrakte en funksjon som $y\left(x \right)$ eller $t\left(x \right)$, eller en hvilken som helst variabel og en enkelt funksjon av den. Nå skal vi ha én funksjon, men flere variabler. Når $y$ og $x$ endres, vil verdien av funksjonen endres. For eksempel, hvis $x$ dobles, vil verdien av funksjonen endres, og hvis $x$ endres, men $y$ ikke endres, vil verdien til funksjonen endres på samme måte.

Selvfølgelig kan en funksjon av flere variabler, akkurat som en funksjon av en variabel, differensieres. Men siden det er flere variabler, er det mulig å differensiere etter forskjellige variabler. I dette tilfellet oppstår det spesifikke regler som ikke eksisterte når man differensierte én variabel.

Først av alt, når vi beregner den deriverte av en funksjon fra en hvilken som helst variabel, må vi indikere hvilken variabel vi beregner den deriverte for - dette kalles den partielle deriverte. For eksempel har vi en funksjon av to variabler, og vi kan beregne den både i $x$ og i $y$ - to partielle deriverte for hver av variablene.

For det andre, så snart vi har fikset en av variablene og begynner å beregne den partielle deriverte med hensyn til den, blir alle de andre som er inkludert i denne funksjonen ansett som konstanter. For eksempel, i $z\left(xy \right)$, hvis vi vurderer den partielle deriverte med hensyn til $x$, så uansett hvor vi møter $y$, anser vi den som en konstant og behandler den som sådan. Spesielt når vi beregner den deriverte av et produkt, kan vi ta $y$ ut av parentes (vi har en konstant), og når vi beregner den deriverte av en sum, hvis vi et sted får en derivert av et uttrykk som inneholder $y$ og ikke inneholder $x$, så vil den deriverte av dette uttrykket være lik "null" som den deriverte av en konstant.

Ved første øyekast kan det virke som jeg snakker om noe komplisert, og mange elever er forvirret i starten. Imidlertid er det ikke noe overnaturlig i partielle derivater, og nå vil vi se dette ved å bruke eksemplet med spesifikke problemer.

Problemer med radikaler og polynomer

Oppgave nr. 1

For ikke å kaste bort tid, la oss starte helt fra begynnelsen med seriøse eksempler.

Til å begynne med, la meg minne deg om denne formelen:

Dette er standardtabellverdien som vi kjenner fra standardkurset.

I dette tilfellet beregnes den deriverte $z$ som følger:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\venstre(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

La oss gjøre det igjen, siden roten ikke er $x$, men et annet uttrykk, i dette tilfellet $\frac(y)(x)$, så bruker vi først standardtabellverdien, og deretter, siden roten er ikke $x $, og et annet uttrykk, må vi multiplisere vår deriverte med en annen av dette uttrykket med hensyn til den samme variabelen. La oss først beregne følgende:

\[((\venstre(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vi går tilbake til uttrykket vårt og skriver:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\venstre(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

I utgangspunktet er det alt. Imidlertid er det feil å la det være i denne formen: en slik konstruksjon er upraktisk å bruke for videre beregninger, så la oss transformere den litt:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2))))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Svaret er funnet. La oss nå forholde oss til $y$:

\[(((z)")_(y))=((\venstre(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\venstre(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

La oss skrive det ned separat:

\[((\venstre(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Nå skriver vi ned:

\[(((z)")_(y))=((\venstre(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\venstre(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Ferdig.

Oppgave nr. 2

Dette eksemplet er både enklere og mer komplekst enn det forrige. Det er mer komplisert fordi det er flere handlinger, men det er enklere fordi det ikke er noen rot og i tillegg er funksjonen symmetrisk med hensyn til $x$ og $y$, dvs. hvis vi bytter $x$ og $y$, vil ikke formelen endres. Denne bemerkningen vil ytterligere forenkle vår beregning av den partielle deriverte, dvs. det er nok å telle en av dem, og i den andre bytter du bare $x$ og $y$.

La oss komme i gang:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \høyre ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\venstre(xy \høyre))^(\prime ))_(x)\venstre(((x)^(2)))+( (y)^(2))+1 \høyre)-xy((\venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(\prime ) )_(x))(((\venstre(((x)^(2)))+((y)^(2))+1 \høyre))^(2)))\]

La oss telle:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Imidlertid forstår mange elever ikke denne notasjonen, så la oss skrive det slik:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\venstre(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\venstre(y \høyre))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Dermed er vi nok en gang overbevist om universaliteten til algoritmen for partielle derivater: uansett hvordan vi beregner dem, hvis alle reglene brukes riktig, vil svaret være det samme.

La oss nå se på enda en delvis avledet fra vår store formel:

\[((\venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(\prime ))_(x)=((\venstre((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\venstre(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

La oss erstatte de resulterende uttrykkene i formelen vår og få:

\[\frac(((\venstre(xy \høyre))^(\prime))_(x)\venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ høyre)-xy((\venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(\prime ))_(x))(((\venstre) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre)-xy\cdot 2x)(((\venstre((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(2)))=\]

\[=\frac(y\venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \høyre))(((\ venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(2)))=\frac(y\venstre(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \høyre))(((\venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(2) )))\]

Basert på $x$ talt. Og for å beregne $y$ fra det samme uttrykket, la oss ikke utføre den samme sekvensen av handlinger, men dra nytte av symmetrien til det opprinnelige uttrykket vårt - vi erstatter ganske enkelt alle $y$ i vårt originale uttrykk med $x$ og omvendt:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\venstre(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \høyre))((( \venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(2)))\]

På grunn av symmetri beregnet vi dette uttrykket mye raskere.

Nyanser av løsningen

For partielle deriverte fungerer alle standardformlene som vi bruker for vanlige, nemlig den deriverte av kvotienten. Samtidig oppstår imidlertid spesifikke trekk: hvis vi vurderer den partielle deriverte av $x$, så når vi henter den fra $x$, anser vi den som en konstant, og derfor vil dens deriverte være lik "null" .

Som for vanlige derivater kan kvotienten (samme derivat) beregnes på flere forskjellige måter. For eksempel kan den samme konstruksjonen som vi nettopp beregnet, omskrives som følger:

\[((\venstre(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\venstre(xy \høyre))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Samtidig kan du derimot bruke formelen fra den deriverte summen. Som vi vet er det lik summen av derivater. La oss for eksempel skrive følgende:

\[((\venstre(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \høyre))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Nå, når vi vet alt dette, la oss prøve å jobbe med mer seriøse uttrykk, siden reelle partielle derivater ikke er begrenset til bare polynomer og røtter: det er også trigonometri og logaritmer og eksponentialfunksjonen. La oss nå gjøre dette.

Problemer med trigonometriske funksjoner og logaritmer

Oppgave nr. 1

La oss skrive følgende standardformler:

\[((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\venstre(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Bevæpnet med denne kunnskapen, la oss prøve å løse:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\venstre (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

La oss skrive ut en variabel separat:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\høyre))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

La oss gå tilbake til vårt design:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Det er det, vi fant det for $x$, la oss nå gjøre beregningene for $y$:

\[(((z)")_(y))=((\venstre(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\venstre) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Igjen, la oss beregne ett uttrykk:

\[((\venstre(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\venstre( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \høyre)\]

Vi går tilbake til det opprinnelige uttrykket og fortsetter løsningen:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Ferdig.

Oppgave nr. 2

La oss skrive ned formelen vi trenger:

\[((\venstre(\ln x \høyre))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

La oss nå telle med $x$:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(\ln \venstre(x+\ln y \høyre) \høyre))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\venstre(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Funnet for $x$. Vi teller med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\venstre(\ln \venstre(x+\ln y \høyre) \høyre))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\venstre(x+\ln y \høyre))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\venstre(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\venstre(x+\ln y \right))\ ]

Problemet er løst.

Nyanser av løsningen

Så uansett hvilken funksjon vi tar den partielle deriverte av, forblir reglene de samme, uavhengig av om vi jobber med trigonometri, med røtter eller med logaritmer.

De klassiske reglene for å jobbe med standardderivater forblir uendret, nemlig den deriverte av en sum og en differanse, en kvotient og en kompleks funksjon.

Den siste formelen finner man oftest når man løser problemer med partielle derivater. Vi møter dem nesten overalt. Det har aldri vært en eneste oppgave der vi ikke kom over den. Men uansett hvilken formel vi bruker, har vi fortsatt ett krav til, nemlig det særegne ved å jobbe med partielle derivater. Når vi fikser en variabel, er alle de andre konstanter. Spesielt hvis vi vurderer den partielle deriverte av uttrykket $\cos \frac(x)(y)$ med hensyn til $y$, så er $y$ variabelen, og $x$ forblir konstant overalt. Det samme fungerer omvendt. Det kan tas ut av det deriverte tegnet, og selve den deriverte av konstanten vil være lik "null".

Alt dette fører til at partielle derivater av samme uttrykk, men med hensyn til forskjellige variabler, kan se helt annerledes ut. La oss for eksempel se på følgende uttrykk:

\[((\venstre(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\venstre(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problemer med eksponentielle funksjoner og logaritmer

Oppgave nr. 1

Til å begynne med, la oss skrive følgende formel:

\[((\venstre(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Når vi kjenner til dette faktum, så vel som den deriverte av en kompleks funksjon, la oss prøve å beregne. Jeg skal nå løse det på to forskjellige måter. Den første og mest åpenbare er derivatet av produktet:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \høyre) )^(\prime ))_(x)=((\venstre(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\venstre(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\venstre(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

La oss løse følgende uttrykk separat:

\[((\venstre(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vi går tilbake til vårt originale design og fortsetter med løsningen:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\venstre(1) +\frac(1)(y)\høyre)\]

Alt, $x$ beregnes.

Men som jeg lovet, nå skal vi prøve å beregne den samme partielle deriverte på en annen måte. For å gjøre dette, legg merke til følgende:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y))))\]

La oss skrive det slik:

\[((\venstre(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\venstre(((e)^(x+\frac(x)(y))) \høyre))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\venstre(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Som et resultat fikk vi nøyaktig samme svar, men antallet beregninger viste seg å være mindre. For å gjøre dette var det nok å merke seg at når du utfører produktet, kan indikatorene legges til.

La oss nå telle med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\venstre(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\venstre(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\venstre(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

La oss løse ett uttrykk separat:

\[((\venstre(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)((y)^(2))) =-\frac(1)((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2))))\]

La oss fortsette å løse vår opprinnelige konstruksjon:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Selvfølgelig kan den samme deriverte beregnes på den andre måten, og svaret vil være det samme.

Oppgave nr. 2

La oss telle med $x$:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(x \høyre))_(x))\cdot \ln \venstre(((x)^(2))+y \høyre )+x\cdot ((\venstre(\ln \venstre(((x)^(2))+y \høyre) \høyre))^(\prime ))_(x)=\]

La oss beregne ett uttrykk separat:

\[((\venstre(\ln \venstre(((x)^(2))+y \høyre) \høyre))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\venstre(((x)^(2))+y \høyre))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

La oss fortsette å løse den opprinnelige konstruksjonen: $$

Her er svaret.

Det gjenstår å finne analogt ved å bruke $y$:

\[(((z)")_(y))=((\venstre(x \høyre))^(\prime ))_(y).\ln \venstre(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Som alltid beregner vi ett uttrykk separat:

\[((\venstre(((x)^(2))+y \høyre))^(\prime ))_(y)=((\venstre(((x)^(2)) \høyre) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Vi fortsetter å løse det grunnleggende designet:

Alt er beregnet. Som du kan se, avhengig av hvilken variabel som tas for differensiering, er svarene helt forskjellige.

Nyanser av løsningen

Her er et slående eksempel på hvordan den deriverte av samme funksjon kan beregnes på to forskjellige måter. Se her:

\[(((z)")_(x))=\venstre(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\venstre(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\venstre(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ venstre(1+\frac(1)(y) \høyre)\]

\[(((z)")_(x))=((\venstre(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \høyre)) ^(\prime ))_(x)=((\venstre(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\venstre(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Når du velger forskjellige veier, kan mengden av beregninger være forskjellig, men svaret, hvis alt er gjort riktig, vil være det samme. Dette gjelder både klassiske og partielle derivater. Samtidig minner jeg nok en gang: avhengig av hvilken variabel den deriverte er tatt, dvs. differensiering, kan svaret bli helt annerledes. Se:

\[((\venstre(\ln \venstre(((x)^(2))+y \høyre) \høyre))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\venstre(((x)^(2))+y \høyre))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\venstre(\ln \venstre(((x)^(2))+y \høyre) \høyre))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\venstre(((x)^(2))+y \høyre))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Avslutningsvis, for å konsolidere alt dette materialet, la oss prøve å beregne ytterligere to eksempler.

Problemer med trigonometriske funksjoner og funksjoner med tre variabler

Oppgave nr. 1

La oss skrive ned følgende formler:

\[((\venstre(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\venstre(((e)^(x)) \høyre))^(\prime ))=((e)^(x))\]

La oss nå løse uttrykket vårt:

\[(((z)")_(x))=((\venstre(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\venstre(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

La oss beregne følgende konstruksjon separat:

\[((\venstre(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ venstre(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Vi fortsetter å løse det opprinnelige uttrykket:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Dette er den endelige responsen til den private variabelen på $x$. La oss nå telle med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\venstre(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\venstre(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

La oss løse ett uttrykk separat:

\[((\venstre(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ venstre(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

La oss løse konstruksjonen vår til slutten:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Oppgave nr. 2

Ved første øyekast kan dette eksemplet virke ganske komplisert fordi det er tre variabler. Faktisk er dette en av de enkleste oppgavene i dagens videoopplæring.

Finn etter $x$:

\[(((t)")_(x))=((\venstre(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \høyre))^(\prime ) )_(x)=((\venstre(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\venstre(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\venstre(x \høyre))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\venstre(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

La oss nå forholde oss til $y$:

\[(((t)")_(y))=((\venstre(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\venstre(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\venstre(y\cdot) ((e)^(z)) \høyre))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\venstre(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\venstre) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Vi har funnet svaret.

Nå gjenstår det bare å finne med $z$:

\[(((t)")_(z))=((\venstre(x\cdot ((e)^(y)))+((y)^(z)) \høyre))^(\prime ))_(z)=((\venstre(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\venstre(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Vi har beregnet den tredje deriverte, som fullfører løsningen på det andre problemet.

Nyanser av løsningen

Som du kan se, er det ikke noe komplisert i disse to eksemplene. Det eneste vi er overbevist om er at den deriverte av en kompleks funksjon brukes ofte og avhengig av hvilken partiell derivert vi regner ut får vi ulike svar.

I den siste oppgaven ble vi bedt om å forstå en funksjon av tre variabler samtidig. Det er ikke noe galt med dette, men helt på slutten var vi overbevist om at de alle er vesentlig forskjellige fra hverandre.

Viktige punkter

De siste tipsene fra dagens videoopplæring er som følger:

1. Partielle deriverte beregnes på samme måte som ordinære, men for å beregne partielle deriverte med hensyn til én variabel tar vi alle andre variabler som inngår i denne funksjonen som konstanter.
2. Når vi jobber med partielle deriverte bruker vi de samme standardformlene som med vanlige deriverte: sum, differanse, derivert av produktet og kvotient og selvfølgelig derivert av en kompleks funksjon.

Selvfølgelig er det ikke nok å se denne videoleksjonen alene for å forstå dette emnet fullt ut, så akkurat nå på nettstedet mitt er det et sett med problemer for denne videoen spesifikt dedikert til dagens emne - gå inn, last ned, løs disse problemene og sjekk svaret . Og etter dette vil du ikke ha noen problemer med partielle derivater verken i eksamen eller i selvstendig arbeid. Selvfølgelig er dette ikke den siste leksjonen i høyere matematikk, så besøk nettstedet vårt, legg til VKontakte, abonner på YouTube, lik og bli hos oss!

Partielle deriverte av en funksjon av to variabler.
Konsept og eksempler på løsninger

I denne leksjonen vil vi fortsette å bli kjent med funksjonen til to variabler og vurdere kanskje den vanligste tematiske oppgaven - å finne partielle deriverte av første og andre orden, samt den totale differensialen til funksjonen. Deltidsstudenter møter som regel partielle derivater i 1. år i 2. semester. Dessuten, ifølge mine observasjoner, vises oppgaven med å finne partielle derivater nesten alltid på eksamen.

For å effektivt studere materialet nedenfor, du nødvendig kunne mer eller mindre trygt finne "vanlige" deriverte av funksjoner til én variabel. Du kan lære hvordan du håndterer derivater riktig i leksjonene Hvordan finne den deriverte? Og Derivat av en kompleks funksjon. Vi vil også trenge en tabell med avledede funksjoner og differensieringsregler. Det er mest praktisk hvis den er tilgjengelig i trykt form. Du kan få referansemateriale på siden Matematiske formler og tabeller.

La oss raskt gjenta konseptet med en funksjon av to variabler, jeg vil prøve å begrense meg til et minimum. En funksjon av to variabler skrives vanligvis som , med variablene som kalles uavhengige variabler eller argumenter.

Eksempel: – funksjon av to variabler.

Noen ganger brukes notasjonen. Det er også oppgaver hvor bokstaven brukes i stedet for en bokstav.

Fra et geometrisk synspunkt representerer en funksjon av to variabler oftest en overflate i tredimensjonalt rom (plan, sylinder, kule, paraboloid, hyperboloid, etc.). Men faktisk er dette mer analytisk geometri, og på agendaen vår er matematisk analyse, som universitetslæreren min aldri lot meg avskrive og er min "sterke side".

La oss gå videre til spørsmålet om å finne partielle derivater av første og andre orden. Jeg har noen gode nyheter for de som har drukket noen kopper kaffe og ser på noe utrolig vanskelig materiale: partielle derivater er nesten det samme som "vanlige" derivater av en funksjon av en variabel.

For partielle deriverte er alle differensieringsregler og tabellen over deriverte av elementære funksjoner gyldige. Det er bare et par små forskjeller, som vi vil bli kjent med akkurat nå:

...ja, forresten, for dette emnet jeg laget liten pdf-bok, som lar deg "sette tennene i" på bare et par timer. Men ved å bruke siden vil du helt sikkert få det samme resultatet - bare kanskje litt tregere:

Eksempel 1

Finn første og andre ordens partielle deriverte av funksjonen

Først, la oss finne førsteordens partielle derivater. Det er to av dem.

Betegnelser:
eller – delvis derivert med hensyn til «x»
eller – delvis avledet med hensyn til “y”

La oss begynne med . Når vi finner den partielle deriverte med hensyn til "x", anses variabelen som en konstant (konstant tall).

Kommentarer til utførte handlinger:

(1) Det første vi gjør når vi finner den partielle deriverte er å konkludere alle funksjon i parentes under primtall med abonnement.

Oppmerksomhet, viktig! VI MISTER IKKE abonnement under løsningsprosessen. I dette tilfellet, hvis du tegner et "slag" et sted uten , kan læreren i det minste sette det ved siden av oppgaven (umiddelbart bite av en del av poenget for uoppmerksomhet).

(2) Vi bruker differensieringsreglene , . For et enkelt eksempel som dette kan begge reglene enkelt brukes i ett trinn. Vær oppmerksom på den første termen: siden regnes som en konstant, og enhver konstant kan tas ut av det deriverte tegnet, så setter vi den utenfor parentes. Det vil si at i denne situasjonen er det ikke bedre enn et vanlig tall. La oss nå se på det tredje begrepet: her er det tvert imot ingenting å ta ut. Siden det er en konstant, er det også en konstant, og i denne forstand er det ikke bedre enn den siste termen - "syv".

(3) Vi bruker tabellderivater og .

(4) La oss forenkle, eller, som jeg liker å si, "justere" svaret.

Nå. Når vi finner den partielle deriverte med hensyn til "y", så variabelenbetraktet som en konstant (konstant tall).

(1) Vi bruker de samme differensieringsreglene , . I det første leddet tar vi konstanten ut av det deriverte tegnet, i det andre leddet kan vi ikke ta ut noe siden det allerede er en konstant.

(2) Vi bruker tabellen med deriverte av elementære funksjoner. La oss mentalt endre alle "X-ene" i tabellen til "jeg". Det vil si at denne tabellen er like gyldig for (og faktisk for nesten alle bokstaver). Spesielt ser formlene vi bruker slik ut: og .

Hva er meningen med partielle derivater?

I hovedsak ligner 1. ordens partielle derivater "vanlig" derivat:

- Dette funksjoner, som kjennetegner endringshastighet fungerer i retning av henholdsvis og aksene. Så for eksempel funksjonen karakteriserer brattheten til "stigninger" og "skråninger" overflater i retning av abscisse-aksen, og funksjonen forteller oss om "relieff" av samme flate i retning av ordinataksen.

! Merk : her mener vi retninger som parallell koordinatakser.

For å få en bedre forståelse, la oss vurdere et spesifikt punkt på planet og beregne verdien av funksjonen ("høyde") ved det:
– og forestill deg nå at du er her (PÅ overflaten).

La oss beregne den partielle deriverte med hensyn til "x" på et gitt punkt:

Det negative tegnet til "X"-deriverten forteller oss om minkende fungerer i et punkt i retning av abscisse-aksen. Med andre ord, hvis vi lager en liten, liten (uendelig liten) skritt mot aksespissen (parallelt med denne aksen), så vil vi gå ned skråningen av overflaten.

Nå finner vi ut naturen til "terrenget" i retning av ordinataksen:

Den deriverte med hensyn til "y" er positiv, derfor funksjonen i et punkt i retning av aksen øker. For å si det enkelt, her venter vi en oppoverbakke.

I tillegg karakteriserer den partielle deriverte på et punkt endringshastighet fungerer i tilsvarende retning. Jo større er den resulterende verdien modulo– jo brattere overflaten er, og omvendt, jo nærmere null er den, jo flatere er overflaten. Så i vårt eksempel er "hellingen" i retning av abscisse-aksen brattere enn "fjellet" i retning av ordinataksen.

Men det var to private veier. Det er helt klart at fra det punktet vi er på, (og generelt fra ethvert punkt på en gitt overflate) vi kan bevege oss i en annen retning. Det er derfor en interesse for å lage et generelt "navigasjonskart" som kan informere oss om overflatens "landskap" hvis mulig på hvert punkt definisjonsdomene for denne funksjonen langs alle tilgjengelige stier. Jeg vil snakke om dette og andre interessante ting i en av de følgende leksjonene, men la oss nå gå tilbake til den tekniske siden av problemet.

La oss systematisere de grunnleggende anvendte reglene:

1) Når vi differensierer med hensyn til , anses variabelen som en konstant.

2) Når det utføres differensiering iht, regnes da som en konstant.

3) Reglene og tabellen med deriverte av elementære funksjoner er gyldige og gjelder for enhver variabel (eller annen) som differensiering utføres med.

Trinn to. Vi finner andreordens partielle derivater. Det er fire av dem.

Betegnelser:
eller – andrederiverte med hensyn til «x»
eller – andrederiverte med hensyn til "Y"
eller - blandet avledet av "x av igr"
eller - blandet avledet av "Y"

Det er ingen problemer med den andre deriverte. For å si det enkelt, den andre deriverte er den deriverte av den første deriverte.

For enkelhets skyld vil jeg omskrive førsteordens partielle derivater som allerede er funnet:

La oss først finne blandede derivater:

Som du kan se, er alt enkelt: vi tar den partielle derivativet og skiller den igjen, men i dette tilfellet - denne gangen i henhold til "Y".

Like måte:

I praktiske eksempler kan du fokusere på følgende likestilling:

Gjennom andreordens blandede derivater er det derfor veldig praktisk å sjekke om vi har funnet førsteordens partielle derivater riktig.

Finn den andrederiverte med hensyn til "x".
Ingen oppfinnelser, la oss ta det og differensier det med "x" igjen:

Like måte:

Det skal bemerkes at når du finner, må du vise økt oppmerksomhet, siden det ikke er noen mirakuløse likheter for å bekrefte dem.

Andre derivater finner også brede praktiske anvendelser, spesielt brukes de i problemet med å finne ekstrema av en funksjon av to variabler. Men alt har sin tid:

Eksempel 2

Beregn de første ordens partielle deriverte av funksjonen i punktet. Finn andreordens derivater.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen). Hvis du har problemer med å differensiere røtter, gå tilbake til leksjonen Hvordan finne den deriverte? Generelt vil du ganske snart lære å finne slike derivater "i farten."

La oss bli bedre på mer komplekse eksempler:

Eksempel 3

Sjekk det . Skriv ned første ordens totale differensial.

Løsning: Finn de første ordens partielle deriverte:

Vær oppmerksom på subskriptet: , ved siden av "X" er det ikke forbudt å skrive i parentes at det er en konstant. Dette notatet kan være svært nyttig for nybegynnere for å gjøre det lettere å navigere i løsningen.

Ytterligere kommentarer:

(1) Vi flytter alle konstanter forbi tegnet til den deriverte. I dette tilfellet, og , og derfor anses produktet deres som et konstant tall.

(2) Ikke glem hvordan du skiller røtter på riktig måte.

(1) Vi tar alle konstanter ut av tegnet til den deriverte i dette tilfellet er konstanten .

(2) Under primtall har vi produktet av to funksjoner igjen, derfor må vi bruke regelen for å skille produktet .

(3) Ikke glem at dette er en kompleks funksjon (riktignok den enkleste av komplekse). Vi bruker den tilsvarende regelen: .

Nå finner vi blandede derivater av andre orden:

Dette betyr at alle beregninger ble utført korrekt.

La oss skrive ned den totale differensialen. I sammenheng med oppgaven under vurdering gir det ingen mening å fortelle hva den totale differensialen til en funksjon av to variabler er. Det er viktig at denne forskjellen svært ofte må skrives ned i praktiske problemer.

Første ordens total differensial funksjonen til to variabler har formen:

I dette tilfellet:

Det vil si, du trenger bare dumt å erstatte de allerede funnet første-ordens partielle derivatene i formelen. I denne og lignende situasjoner er det best å skrive differensialtegn i tellere:

Og ifølge gjentatte forespørsler fra lesere, annen ordens total differensial.

Det ser slik ut:

La oss NØYE finne "en-bokstavs"-derivater av 2. orden:

og skriv ned "monsteret", "fest" forsiktig rutene, produktet og ikke glem å doble det blandede derivatet:

Det er greit hvis noe virker vanskelig, kan du alltid komme tilbake til derivater senere, etter at du har mestret differensieringsteknikken:

Eksempel 4

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon . Sjekk det . Skriv ned første ordens totale differensial.

La oss se på en rekke eksempler med komplekse funksjoner:

Eksempel 5

Finn de første ordens partielle deriverte av funksjonen.

Løsning:

Eksempel 6

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon .
Skriv ned den totale differensialen.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen). Jeg vil ikke gi deg en komplett løsning fordi den er ganske enkel.

Ganske ofte brukes alle de ovennevnte reglene i kombinasjon.

Eksempel 7

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon .

(1) Vi bruker regelen for å differensiere summen

(2) Det første leddet i dette tilfellet regnes som en konstant, siden det ikke er noe i uttrykket som avhenger av "x" - bare "y". Du vet, det er alltid hyggelig når en brøk kan gjøres om til null). For det andre leddet bruker vi produktdifferensieringsregelen. Slik sett hadde forresten ingenting endret seg om en funksjon hadde blitt gitt i stedet - det viktige er at her produkt av to funksjoner, HVER avhenger av "X", og derfor må du bruke produktdifferensieringsregelen. For det tredje leddet bruker vi regelen om differensiering av en kompleks funksjon.

(1) Det første leddet i både telleren og nevneren inneholder en "Y", derfor må du bruke regelen for å skille kvotienter: . Det andre leddet avhenger KUN av "x", som betyr at det regnes som en konstant og blir null. For det tredje leddet bruker vi regelen for å differensiere en kompleks funksjon.

For de leserne som modig kom nesten til slutten av leksjonen, vil jeg fortelle deg en gammel Mekhmatov-vits for lettelse:

En dag dukket en ond avledning opp i funksjonsrommet og begynte å skille alle. Alle funksjoner er spredt i alle retninger, ingen ønsker å transformere! Og bare én funksjon løper ikke unna. Avledningen nærmer seg henne og spør:

– Hvorfor løper du ikke fra meg?

- Ha. Men jeg bryr meg ikke, for jeg er "e til kraften til X", og du vil ikke gjøre meg noe!

Hvorpå den onde avledningen med et lumsk smil svarer:

- Det er her du tar feil, jeg vil skille deg med "Y", så du bør være en null.

Den som forsto vitsen har mestret derivater, i det minste til "C"-nivå).

Eksempel 8

Finn førsteordens partielle deriverte av en funksjon .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Den fullstendige løsningen og eksemplet på problemet er på slutten av leksjonen.

Vel, det er nesten alt. Til slutt kan jeg ikke la være å glede matematikkelskere med ett eksempel til. Det handler ikke engang om amatører, alle har et annet nivå av matematisk forberedelse - det er mennesker (og ikke så sjeldne) som liker å konkurrere med vanskeligere oppgaver. Selv om det siste eksemplet i denne leksjonen ikke er så komplisert som det er tungvint fra et beregningsmessig synspunkt.

Partielle derivater brukes i problemer som involverer funksjoner til flere variabler. Reglene for å finne er nøyaktig de samme som for funksjoner til en variabel, med den eneste forskjellen at en av variablene må betraktes som en konstant (konstant tall) på tidspunktet for differensiering.

Formel

Partielle deriverte for en funksjon av to variabler $ z(x,y) $ skrives i følgende form $ z"_x, z"_y $ og finnes ved å bruke formlene:

Første ordens partielle derivater

$$ z"_x = \frac(\delvis z)(\delvis x) $$

$$ z"_y = \frac(\delvis z)(\delvis y) $$

Andre ordens partielle derivater

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Blandet derivat

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Partiell derivert av en kompleks funksjon

a) La $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, så bestemmes den deriverte av en kompleks funksjon av formelen:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\delvis z)(\delvis x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\delvis z)(\delvis y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) La $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, så blir de partielle deriverte av funksjonen funnet av formelen:

$$ \frac(\delvis z)(\delvis u) = \frac(\delvis z)(\delvis x) \cdot \frac(\delvis x)(\delvis u) + \frac(\delvis z)( \delvis y) \cdot \frac(\delvis y)(\delvis u) $$

$$ \frac(\delvis z)(\delvis v) = \frac(\delvis z)(\delvis x) \cdot \frac(\delvis x)(\delvis v) + \frac(\delvis z)( \delvis y) \cdot \frac(\delvis y)(\delvis v) $$

Partielle deriverte av en implisitt funksjon

a) La $ F(x,y(x)) = 0 $, deretter $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) La $ F(x,y,z)=0 $, deretter $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Eksempler på løsninger

Eksempel 1

Finn førsteordens partielle deriverte $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Løsning

For å finne den partielle deriverte med hensyn til $ x $, vil vi vurdere $ y $ som en konstant verdi (tall): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ For å finne den partielle deriverte av en funksjon med hensyn til $y$, definerer vi $y$ med en konstant: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi en detaljert løsning. Du vil kunne se fremdriften til beregningen og få informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få karakteren din fra læreren din i tide!

Svar

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Eksempel 2

Finn de partielle deriverte av andreordensfunksjonen $ z = e^(xy) $

Løsning

Først må du finne de første deriverte, og når du kjenner dem kan du finne andre ordens deriverte. La $y$ være en konstant: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ La oss nå sette $ x $ til å være en konstant verdi: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Når vi kjenner de første deriverte, finner vi den andre på samme måte. Sett $y$ til en konstant: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Vi setter $ x $ til en konstant: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Nå gjenstår det bare å finne det blandede derivatet. Du kan differensiere $ z"_x $ med $ y $, og du kan differensiere $ z"_y $ med $ x $, siden ved teoremet $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Svar

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Eksempel 4

La $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definere den implisitte funksjonen $ F(x,y,z) = 0 $. Finn førsteordens partielle derivater.

Løsning

Vi skriver funksjonen i formatet: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ og finner de deriverte: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Svar

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Eksempler på beregning av høyere ordens deriverte av eksplisitte funksjoner vurderes. Det er gitt nyttige formler for beregning av n. ordens derivater.

Innhold

Bestemmelse av høyere ordens derivater

Her vurderer vi tilfellet hvor variabelen y avhenger av variabelen x eksplisitt:
.
Ved å differensiere funksjonen med hensyn til variabelen x, får vi den førsteordens deriverte, eller ganske enkelt den deriverte:
.
Som et resultat får vi en ny funksjon, som er en derivert av funksjonen. Ved å differensiere denne nye funksjonen med hensyn til variabelen x, får vi den andreordens deriverte:
.
Ved å differensiere funksjonen får vi en tredjeordens derivert:
.
Og så videre. Ved å differensiere den opprinnelige funksjonen n ganger får vi den n-te ordens deriverte eller n-te deriverte:
.

Derivater kan betegnes streker, romertall, arabiske tall i parentes eller brøker fra differensialer. For eksempel kan derivater av tredje og fjerde orden betegnes som følger:
;
.

Nedenfor er formler som kan være nyttige for å beregne høyere ordens derivater.

Nyttige formler for n. ordens derivater

Derivater av noen elementære funksjoner:
;
;
;
;
.

Derivert av summen av funksjoner:
,
hvor er konstanter.

Leibniz formel avledet av produktet av to funksjoner:
,
Hvor
- binomiale koeffisienter.

Eksempel 1

Finn den første og andre ordens deriverte av følgende funksjon:
.

Vi finner den første ordens deriverte. Vi tar konstanten utenfor det deriverte tegnet og bruker formelen fra tabellen med deriverte:
.
Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner:
.
Her .
Vi bruker regelen for differensiering av en kompleks funksjon og bruker de funnet deriverte:
.
Her .

.
For å finne andreordens deriverte, må vi finne den deriverte av førsteordensderiverte, det vil si funksjonen:
.
For å unngå forvirring med notasjonen, la oss betegne denne funksjonen med bokstaven:
(A1.1) .
Deretter andreordens derivat fra den opprinnelige funksjonen er den deriverte av funksjonen:
.

Finne den deriverte av funksjonen. Dette er lettere å gjøre ved å bruke den logaritmiske deriverte. La oss logaritmere (A1.1):
.
La oss nå skille:
(A1.2) .
Men dette er konstant. Dens deriverte er null. Vi har allerede funnet den deriverte av. Vi finner de resterende deriverte ved å bruke regelen for differensiering av en kompleks funksjon.
;
;
.
Vi erstatter i (A1.2):

.
Herfra
.

;
.

Eksempel 2

Finn den tredje ordens deriverte:
.

Finne den første ordens deriverte. For å gjøre dette tar vi konstanten utenfor tegnet til den deriverte og bruker tabell over derivater og søke regel for å finne den deriverte av en kompleks funksjon .

.
Her .
Så vi fant den første ordens deriverte:
.

Finne den andre ordens deriverte. For å gjøre dette finner vi den deriverte av . Vi bruker den deriverte brøkformelen.
.
Andre ordens deriverte:
.

Nå finner vi det vi leter etter tredje ordens derivat. For å gjøre dette, skiller vi.
;
;

.

Den tredje ordens deriverte er lik
.

Eksempel 3

Finn den sjette ordens deriverte av følgende funksjon:
.

Hvis du åpner parentesene, vil det være tydelig at den opprinnelige funksjonen er et polynom av grad . La oss skrive det som et polynom:
,
hvor er konstante koeffisienter.

Deretter bruker vi formelen for den n-te deriverte av en potensfunksjon:
.
For den sjette ordens deriverte (n = 6 ) vi har:
.
Av dette er det klart at kl. Når vi har:
.

Vi bruker formelen for den deriverte av en sum av funksjoner:

.
For å finne den sjette ordens deriverte av den opprinnelige funksjonen, trenger vi bare å finne koeffisienten til polynomet i høyeste grad. Vi finner det ved å multiplisere de høyeste potensene i produktene av summene av den opprinnelige funksjonen:

.
Herfra.
.

Deretter

Eksempel 4
.

Finn den n-te deriverte av en funksjon

Løsning >>>

Eksempel 5
,
Finn den n-te deriverte av følgende funksjon:

hvor og er konstanter.
I dette eksemplet er det praktisk å utføre beregninger ved hjelp av komplekse tall. La oss ha en kompleks funksjon ,
(A5.1)
hvor og er funksjoner av den reelle variabelen x;
- imaginær enhet, .
Ved å differensiere (A.1) n ganger har vi: .
(A5.2)
;
.

Noen ganger er det lettere å finne den n-te deriverte av en funksjon. Da defineres de n-te deriverte av funksjonene som de reelle og imaginære delene av den n-te deriverte:
.
La oss bruke denne teknikken for å løse vårt eksempel. Vurder funksjonen
,
Her har vi brukt Eulers formel
.
og introduserte betegnelsen
.

Deretter bestemmes den n-te deriverte av den opprinnelige funksjonen av formelen:
.
La oss finne den n'te deriverte av funksjonen
.
For å gjøre dette bruker vi formelen:
.
I vårt tilfelle
.

Deretter
,
Så vi fant den n'te deriverte av den komplekse funksjonen:
Hvor .
La oss finne den virkelige delen av funksjonen.
,
For å gjøre dette representerer vi et komplekst tall i eksponentiell form:
; .
I vårt tilfelle
;

.

Hvor ;
.

Eksempel løsning
La , .
.
Deretter ;
,
,
.
kl.
.

,
Hvor
; .