1 beregn grensen. Hvordan telle grenser. Algoritme for beregning av grenser
I denne artikkelen vil du lære om hvordan du løser grenser?
Å løse grenser er en av de viktige delene av matematisk og beregningsmessig analyse. Mange studenter og universitetsstudenter takler dette problemet fritt, når andre stadig stiller det samme spørsmålet: "Hvordan løser man grenser?" Å finne grenser er et hett tema. Det er mange måter å løse grenser på. Identiske grenser kan bli funnet i henhold til L'Hopitals lov uten dens hjelp. Men først må vi forstå hva en grense er?
Grensen har tre deler
Det første er det velkjente lim-ikonet, det andre er det som er skrevet under det.
For eksempel: x -> 1. Denne oppføringen vil lese slik (x har en tendens til 1).
Den tredje delen er selve funksjonen, som kommer etter limtegnet.
Jeg vil gjerne presisere at verdien av x har en tendens til 1, dette er verdien x, ved hvilken X tar på seg visse verdier som er nær enhet eller nesten sammenfaller med den.
Det er enkelt å løse grenser hvis du forstår dem.
Første regel for å løse grenser
Hvis en funksjon er gitt til oss, bytter du ganske enkelt nummeret inn i funksjonen. Dette er elementære grenser som faktisk forekommer i eksempler og veldig ofte.
Er det grenser der x->? Da er uendelig funksjonen der x øker uendelig. Verdien av en slik funksjon er (1-x). For å løse denne grensen må vi følge vår første regel og erstatte verdien (1-er) i funksjonen og få svaret.
Fra ovenstående, for å lære hvordan du løser de vanskeligste grensene, Du må huske reglene for å løse elementære grenser.
- Regel én: Gitt en funksjon, erstatter vi tallet i funksjonen.
- Regel to: Gitt uendelig, erstatter vi (1-er) i funksjonen.
Når du forstår dette, vil du umiddelbart begynne å legge merke til elementære grenser og være i stand til å løse dem.Så vi lærte hvordan vi løser enkle grenser. La oss nå se på å løse mer komplekse grenser.
Det er mange grenser med? Et slikt alternativ er visningsgrensen?/?
En slik funksjon er mulig når x->?, og grensen er uttrykt som en brøk.
Mange lurer på om det er lett å løse en slik grense?
Det første du må huske er at du må finne x-en i telleren etter ansiennitet, dvs. i størst grad av alle x-ene som er i telleren.
lim+(x->?)?((2x^2-3x-4)/(3x^2+1+x))^ ?
Vi ser at høyeste grad i telleren er 2
Nå trenger vi å gjøre det samme bare med nevneren. Den høyeste potensen i nevneren er også 2.
Prinsipp: For å løse denne funksjonen må vi dele både utbytte og divisor med x til høyeste potens i grensen. Hvis den var lik 2. Hvis graden av telleren var lik 4, og nevneren var 2, så ville vi valgt 4. Fordi dette er den høyeste graden i funksjonen gitt til oss. Se hvor raskt vi lærte å løse artens grenser?/?
La oss nå se på å løse de vanskeligste grensene. Dette er 0/0-visningen.
Slike grenser minner oss veldig om løsningen av grenser for formen uendelig til uendelig. Men det er en forskjell som er viktig å huske når man bestemmer seg. Når x tenderer mot uendelig, øker den uendelig, men her er den lik 0, dvs. endelig antall.
For å aktivere en slik funksjon, bør vi, og faktor tellerne og nevneren. For å få en elementær diskriminant, kjent for oss siden 6. klasse. Vi beregner diskriminanten og erstatter svarene i funksjonen vår. Vi finner det endelige svaret.
Regel: Hvis i telleren eller nevneren et visst tall kan tas ut av en gitt parentes, så uten å tenke, tar vi det definitivt ut.
Det er mange forskjellige måter å løse mer komplekse grenser på. En av dem er erstatningsmetoden. Å erstatte en hvilken som helst variabel er enklere enn å konstant faktorisere. Svært ofte brukes denne metoden for å gjøre en kompleks grense til den første bemerkelsesverdige grensen.
La oss se nærmere på et eksempel
Eksempel: lim+(x->0)?(arctg4x/7x)^ ?
Løsning: Vi ser at vår funksjon er representert ved usikkerheten 0/0, som vi allerede har passert
lim+(x->0)?(arctg4x/7x)^ ? = 0/0
Vi ser arctangensen i grensen, en dårlig funksjon som vi må kvitte oss med. Det vil være veldig behagelig for oss hvis vi gjør arctangensen til en enkel og enkel bokstav.
La oss gjøre en erstatning: erstatt arctg med y. Og i prosessen med å løse vil vi referere til arctangensen som y. Hvis vår x har en tendens til null, erstattet vi arctangensen med y, så skriver vi at y også har en tendens til null. Alt som gjenstår for oss i nevneren er å uttrykke x gjennom y. For å gjøre dette legger vi til tg på begge sider av likestillingen
Uttrykkene vil ha følgende form:
tg (arctg4x)=tgy
På venstre side fjerner vi to funksjoner, de er gjensidige og forsvinner.
Vi sitter igjen med:
4х = tgy, derav: x= tgy/4
Og nå gjenstår de mest grunnleggende tingene:
lim+(x->0)?(y/(7*tgy/4))^ ?
Gå videre. Innenfor grenser er det ikke bare én fantastisk grense, men det er to av dem. Nå vil vi ikke bare forstå konseptet med den andre bemerkelsesverdige grensen, men også lære å løse den. En annen bemerkelsesverdig grense eksisterer for å løse usikkerheter på formen 1^? I matematikk skrives det som a(x) ->? Denne typen av denne funksjonen er den enkleste, det er funksjoner som er mer komplekse, det viktigste er at den har en tendens til uendelig.
Det bør huskes at så snart grensen vår viser seg å være en grad, er dette hovedtegnet på at et slikt uttrykk vil hjelpe oss med å løse den andre bemerkelsesverdige grensen. Nå skal vi se nærmere på et eksempel som forekommer veldig ofte. Jeg anbefaler deg å studere det i detalj.
Vi får en grense: lim+(x->?)?((x-2)/(x+1))^(2x+3) ?
Denne grensen for skjemaet (?/?)^ ?Den andre bemerkelsesverdige grensen løser ikke denne typen, som vi vet, den løser formen 1^?, for dette må funksjonen vår transformeres til en annen form. Vi ser x+1 i nevneren, som betyr at telleren også må ha x+1
lim+(x->?)?((x+1-3)/(x+1))^(2x+3) ?
Nå vi Det er nødvendig å dele telleren med nevneren begrep for begrep. Da vil grunnlaget vårt ligne på vår usikkerhet, men det er et minustegn som forstyrrer oss. Vi lager en brøk med tre etasjer og ser vår usikkerhet?/?. Og vi vet allerede hvordan vi beregner en slik funksjon. Del begge sider av brøken med x, og du er ferdig. Vi har svaret.
Jeg vil gratulere dere, kjære lesere, dere har lært å løse grenser. Jeg håper artikkelen min var informativ, underholdende og interessant!
Type- og artsusikkerhet er de vanligste usikkerhetene som må opplyses ved løsning av grenser.
De fleste grenseproblemene studentene møter inneholder nettopp slike usikkerhetsmomenter. For å avsløre dem, eller mer presist, for å unngå usikkerhet, finnes det flere kunstige teknikker for å transformere typen uttrykk under grensetegnet. Disse teknikkene er som følger: ledd for ledd deling av telleren og nevneren med den høyeste potensen til variabelen, multiplikasjon med det konjugerte uttrykket og faktorisering for påfølgende reduksjon ved bruk av løsninger til kvadratiske ligninger og forkortede multiplikasjonsformler.
Artsusikkerhet
Eksempel 1.
n er lik 2. Derfor deler vi teller- og nevnerleddet på ledd med:
.
Kommenter på høyre side av uttrykket. Piler og tall indikerer hva brøker har en tendens til etter substitusjon n betyr uendelighet. Her, som i eksempel 2, graden n Det er mer i nevneren enn i telleren, som et resultat av at hele brøken har en tendens til å være infinitesimal eller "superliten".
Vi får svaret: grensen for denne funksjonen med en variabel som tenderer mot uendelig er lik .
Eksempel 2. .
Løsning. Her den høyeste potensen til variabelen x er lik 1. Derfor deler vi teller- og nevnerleddet på ledd med x:
.
Kommentar til fremdriften av vedtaket. I telleren kjører vi "x" under roten av den tredje graden, og slik at dens opprinnelige grad (1) forblir uendret, tildeler vi den samme grad som roten, det vil si 3. Det er ingen piler eller tilleggstall. i denne oppføringen, så prøv det mentalt, men i analogi med forrige eksempel, finn ut hva uttrykkene i telleren og nevneren har en tendens til etter å ha erstattet uendelig i stedet for "x".
Vi fikk svaret: grensen for denne funksjonen med en variabel som tenderer mot uendelig er lik null.
Artsusikkerhet
Eksempel 3. Avdekk usikkerhet og finn grensen.
Løsning. Telleren er forskjellen på kuber. La oss faktorisere det ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen fra skolematematikkkurset:
Nevneren inneholder et kvadratisk trinomium, som vi vil faktorisere ved å løse en andregradsligning (nok en gang en lenke til å løse andregradsligninger):
La oss skrive ned uttrykket oppnådd som et resultat av transformasjonene og finne grensen for funksjonen:
Eksempel 4. Lås opp usikkerhet og finn grensen
Løsning. Kvotientgrensesetningen er ikke aktuelt her, siden
Derfor transformerer vi brøken identisk: multipliserer telleren og nevneren med det binomiale konjugatet til nevneren, og reduserer med x+1. I følge konsekvensen av teorem 1 får vi et uttrykk som løser det vi finner den nødvendige grensen:
Eksempel 5. Lås opp usikkerhet og finn grensen
Løsning. Direkte verdisubstitusjon x= 0 i en gitt funksjon fører til usikkerhet på formen 0/0. For å avsløre det, utfører vi identiske transformasjoner og oppnår til slutt ønsket grense: 
Eksempel 6. Regne ut 
Løsning: La oss bruke teoremene om grenser
Svar: 11
Eksempel 7. Regne ut 
Løsning: i dette eksemplet er grensene for telleren og nevneren ved lik 0:
; 
. Vi har mottatt, derfor kan ikke teoremet om kvotientens grense anvendes.
La oss faktorisere telleren og nevneren for å redusere brøken med en felles faktor som har en tendens til null, og derfor gjøre det mulig å anvende teorem 3.
La oss utvide kvadrattrinomialet i telleren ved å bruke formelen , hvor x 1 og x 2 er røttene til trinomialet. Etter å ha faktorisert og nevner, reduser brøken med (x-2), og bruk deretter teorem 3.
Svar:
Eksempel 8. Regne ut
Løsning: Når telleren og nevneren har en tendens til uendelig, får vi derfor, når vi bruker setning 3 direkte, uttrykket , som representerer usikkerhet. For å bli kvitt usikkerhet av denne typen, bør du dele telleren og nevneren med argumentets høyeste potens. I dette eksemplet må du dele på X:
Svar:
Eksempel 9. Regne ut 
Løsning: x 3:
Svar: 2
Eksempel 10. Regne ut 
Løsning: Når telleren og nevneren har en tendens til uendelig. La oss dele telleren og nevneren med argumentets høyeste potens, dvs. x 5:
Telleren til brøken har en tendens til 1, nevneren har en tendens til 0, så brøken har en tendens til uendelig.
Svar:
Eksempel 11. Regne ut
Løsning: Når telleren og nevneren har en tendens til uendelig. La oss dele telleren og nevneren med argumentets høyeste potens, dvs. x 7:
Svar: 0
Derivat.
Derivert av funksjonen y = f(x) med hensyn til argumentet x kalles grensen for forholdet mellom dets inkrement y og inkrementet x i argumentet x, når inkrementet til argumentet har en tendens til null: . Hvis denne grensen er begrenset, så funksjonen y = f(x) sies å være differensierbar i punkt x. Hvis denne grensen eksisterer, så sier de at funksjonen y = f(x) har en uendelig derivert i punkt x.
Derivater av grunnleggende elementære funksjoner:
1. (konst)=0 9. 
3. 11. 
4. 12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Regler for differensiering:
en) 
V) 
Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon 
Løsning: Hvis den deriverte av det andre leddet er funnet ved å bruke regelen for differensiering av brøker, er det første leddet en kompleks funksjon, hvis deriverte er funnet av formelen:
, Hvor 
, Deretter
Ved løsningen ble følgende formler brukt: 1,2,10,a,c,d.
Svar:
Eksempel 21. Finn den deriverte av en funksjon 
Løsning: begge begrepene er komplekse funksjoner, hvor for den første , , og for den andre , , deretter
Svar: 
Avledede applikasjoner.
1. Hastighet og akselerasjon
La funksjonen s(t) beskrive posisjon objekt i et eller annet koordinatsystem på tidspunktet t. Da er den første deriverte av funksjonen s(t) momentan hastighet gjenstand:
v=s′=f′(t)
Den andre deriverte av funksjonen s(t) representerer det øyeblikkelige akselerasjon gjenstand:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangentligning
y−y0=f′(x0)(x−x0),
hvor (x0,y0) er koordinatene til tangenspunktet, f′(x0) er verdien av den deriverte av funksjonen f(x) ved tangenspunktet.
3. Normal ligning
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
der (x0,y0) er koordinatene til punktet der normalen er tegnet, f′(x0) er verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i dette punktet.
4. Økende og redusere funksjoner
Hvis f′(x0)>0, øker funksjonen ved punktet x0. I figuren under øker funksjonen som x
Hvis f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Lokale ytterpunkter av en funksjon
Funksjonen f(x) har lokalt maksimum ved punktet x1, hvis det er et nabolag til punktet x1 slik at ulikheten f(x1)≥f(x) gjelder for alle x fra dette nabolaget.
På samme måte har funksjonen f(x). lokalt minimum ved punktet x2, hvis det er et nabolag til punktet x2 slik at ulikheten f(x2)≤f(x) gjelder for alle x fra dette nabolaget.
6. Kritiske punkter
Punkt x0 er kritisk punkt funksjon f(x), hvis den deriverte f′(x0) i den er lik null eller ikke eksisterer.
7. Det første tilstrekkelige tegn på eksistensen av et ekstremum
Hvis funksjonen f(x) øker (f′(x)>0) for alle x i et eller annet intervall (a,x1] og avtar (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) for alle x fra intervallet )