Tegnkorrelasjonskoeffisient (Fechner-koeffisient). Fechner-korrelasjonskoeffisient (tegnkorrelasjonskoeffisient) Fechner-korrelasjonskoeffisient brukes

29.12.2023

Fechner-forhold- dette er en vurdering av graden av konsistens i retningene for avvik av individuelle verdier av faktor og resulterende egenskaper fra gjennomsnittsverdiene av faktor og resulterende egenskaper. Fechner-koeffisienten, sammen med koeffisienter som Spearman-koeffisienten og Kandel-koeffisienten, refererer til fortegn korrelasjonskoeffisienter. Tegnkorrelasjonskoeffisienten er basert på å vurdere graden av konsistens av retningene for avvik for de individuelle verdiene av faktoren og resultattegn fra de tilsvarende gjennomsnittene. Det beregnes som følger:

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K f ">Beregn verdien

Fechner-koeffisienten kan ta verdier fra –1 til +1. Kf = 1 indikerer mulig tilstedeværelse av en direkte forbindelse, Kf = -1 indikerer mulig tilstedeværelse av tilbakemelding.

Formålet med tjenesten. Denne tjenesten er designet for å beregne Fechner-koeffisienten online. Betydningen av denne koeffisienten bestemmes også.

Bruksanvisning. Angi mengden data (antall rader), klikk på Neste. Den resulterende løsningen lagres i en Word-fil. Det lages også automatisk en mal for å teste løsningen i Excel.

Beregning av Fechner-koeffisienten består av følgende trinn:

Gjennomsnittsverdiene for hver karakteristikk (X og Y) bestemmes.
Tegnene på avvik (-,+) fra gjennomsnittsverdien for hver av egenskapene bestemmes.
Hvis tegnene samsvarer, tilordne verdien A, ellers B.
Antallet A og B telles ved å beregne Fechner-koeffisienten ved å bruke formelen: K f = (n a - n b)/(n a + n b) hvor n a er antall sammenfall av tegn på avvik av individuelle verdier fra gjennomsnittet ; n b - antall uoverensstemmelser.

Fechner-forhold varierer innenfor [-1;+1] og brukes til å vurdere nærhet til forholdet mellom kvalitative egenskaper (ikke-parametriske metoder).

Grafisk representasjon av Fechner-koeffisienten

Eksempel nr. 1. Ved utvikling av en leireløsning med redusert væsketap under høye temperaturforhold ble to formuleringer testet parallelt, hvorav den ene inneholdt 2 % CMC og 1 % Na2CO3, og den andre 2 % CMC, 1 % Na2CO3 og 0,1 % kaliumdikromat. Som et resultat ble følgende X-verdier oppnådd (vanntap etter 30 s).

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Sjekker om de aktuelle løsningene kan skilles ut med væsketapsverdier.

Eksempel nr. 2. Tegnkorrelasjonskoeffisient, eller Fechner-koeffisienten, er basert på å vurdere graden av konsistens i retningene for avvik av individuelle verdier av faktor og resulterende egenskaper fra de tilsvarende gjennomsnittene. Det beregnes som følger:

hvor n a er antall treff på tegn på avvik av individuelle verdier fra gjennomsnittet; n b - antall uoverensstemmelser.

Fechner-forhold kan ta verdier fra -1 til +1. Kf = 1 indikerer mulig tilstedeværelse av en direkte forbindelse, Kf = -1 indikerer mulig tilstedeværelse av tilbakemelding.

Eksempel nr. 2
La oss se på eksemplet på beregning av Fechner-koeffisienten ved å bruke dataene gitt i tabellen:
Gjennomsnittsverdier:

Tegn på avvik fra gjennomsnittet X	Tegn på avvik fra gjennomsnittlig Y	Samsvar med (a) eller ikke samsvarende (b) tegn

Verdien av koeffisienten indikerer at vi kan anta tilstedeværelsen av tilbakemelding.

Estimering av fortegnskorrelasjonskoeffisient.

For å estimere Fechner-koeffisienten er det nok å evaluere dens betydning og finne konfidensintervallet.
Betydningen av Fechner-koeffisienten.

Ved å bruke elevens tabell finner vi t-tabellen:
t-tabell (n-m-1;a) = (6;0,05) = 1,943
Siden Tob > ttable avviser vi hypotesen om at fer lik 0. Fechner-koeffisienten er med andre ord statistisk signifikant.

Konfidensintervall for Fechner-koeffisienten:
r(-1,0;-0,4495)

Eksempel nr. 3.
La oss se på eksemplet på beregning av fved å bruke dataene gitt i tabellen.

Kort teori

De enkleste indikatorene på nærhet til en forbindelse inkluderer tegnkorrelasjonskoeffisienten, som ble foreslått av den tyske forskeren G. Fechner. Denne indikatoren er basert på å vurdere graden av konsistens av retningene for avvik av individuelle verdier av faktor og resulterende egenskaper fra de tilsvarende gjennomsnittene. For å beregne det, beregnes gjennomsnittsverdiene for de resulterende og faktoregenskapene, og deretter tildeles avvikstegnene for alle verdier av sammenkoblede karakteristikker.

Hvis vi introduserer følgende notasjoner: - antall sammenfall av tegn på avvik av individuelle verdier fra gjennomsnittet, - antall uoverensstemmelser mellom tegn på avvik, kan Fechner-koeffisienten skrives som følger:

Fechner-koeffisienten kan ta på seg forskjellige verdier fra -1 til +1. Hvis tegnene på alle avvik faller sammen, vil indikatoren være lik 1, noe som indikerer mulig tilstedeværelse av en direkte forbindelse. Hvis tegnene på alle avvik er forskjellige, vil Fechner-koeffisienten være lik -1, noe som antyder tilstedeværelsen av tilbakemelding.

Eksempel på problemløsning

Oppgaven

Det foreligger data om antall storfe for 12 landbruksbedrifter per 1. januar og gjennomsnittlig årlig melkeytelse per ku. Bestem frekvensen av assosiasjon mellom disse faktorene ved å bruke Fechner-korrelasjonskoeffisienten.

Antall landbruksbedrifter

1.2

35.8

1.6

30.0

2.8

34.8

1.8

31.3

2.9

36.9

37.1

1.6

27.9

1.7

30.0

2.6

35.8

1.3

32.1

29.1

3.3

34.3

Løsningen på problemet

La oss lage en beregningstabell:

Antall landbruksbedrifter

Antall storfe per 1. januar, tusen hoder

Gjennomsnittlig årlig melkeytelse per ku, kg

1.2

35.8

1.44

1281.64

42.96

1.6

2.56

900

2.8

34.8

7.84

1211.04

97.44

1.8

31.3

3.24

979.69

56.34

2.9

36.9

8.41

1361.61

107.01

37.1

1376.41

111.3

1.6

27.9

2.56

778.41

44.64

1.7

2.89

900

2.6

35.8

6.76

1281.64

93.08

1.3

32.1

1.69

1030.41

41.73

29.1

846.81

58.2

3.3

34.3

10.89

1176.49

113.19

Total

25.8

395.1

61.28

13124.15

864.89

Fechner-koeffisienten kan beregnes ved å bruke formelen:

Antall tilfeldigheter av tegn på avvik av individuelle verdier fra gjennomsnittet, , - antall uoverensstemmelser av tegn på avvik

1.2 35.8 1.6 30 2.8 34.8 1.8 31.3 2.9 36.9 3 37.1 1.6 27.9 1.7 30 2.6 35.8 1.3 32.1 2 29.1 3.3 34.3

Tegn på avvik fra gjennomsnittet

Samsvar (eller ikke samsvar mellom tegn

Vanligvis karakteriserer denne verdien av indikatoren for nærhet av forbindelsen en sterk avhengighet, men det bør huskes at siden koeffisienten bare avhenger av tegnene og ikke tar hensyn til størrelsen på selve avvikene og deres gjennomsnitt. verdier, karakteriserer det praktisk talt ikke så mye forbindelsens nærhet, men snarere dens tilstedeværelse og retning.

Prisen er sterkt påvirket av det haster med avgjørelsen (fra en dag til flere timer). Online hjelp til eksamen/prøver er tilgjengelig etter avtale.

Du kan legge igjen en forespørsel direkte i chatten, etter tidligere å ha sendt vilkårene for oppgavene og informert deg om fristene for løsningen du trenger. Responstiden er noen få minutter.

Korrelasjonskoeffisienten, foreslått i andre halvdel av 1800-tallet av G. T. Fechner, er det enkleste målet på forholdet mellom to variabler. Den er basert på en sammenligning av to psykologiske egenskaper x Jeg Og y Jeg, målt på samme prøve, ved å sammenligne tegn på avvik av individuelle verdier fra gjennomsnittet: og
. Konklusjonen om korrelasjonen mellom to variabler er laget basert på å telle antall treff og mismatcher av disse tegnene.

Eksempel

La x Jeg Og y Jeg– to egenskaper målt på samme utvalg av forsøkspersoner. For å beregne Fechner-koeffisienten, er det nødvendig å beregne gjennomsnittsverdiene for hver karakteristikk, så vel som for hver verdi av variabelen - tegnet på avviket fra gjennomsnittet (tabell 8.1):

Tabell 8.1

x Jeg	y Jeg	Betegnelse

I bordet: EN- tilfeldighet av tegn, b- uoverensstemmelse mellom tegn; n et – antall kamper, n b – antall uoverensstemmelser (i dette tilfellet n a = 4, n b = 6).

Fechner-korrelasjonskoeffisienten beregnes ved å bruke formelen:

(8.1)

I dette tilfellet:

Konklusjon

Det er en svak negativ sammenheng mellom de studerte variablene.

Det skal bemerkes at Fechner-korrelasjonskoeffisienten ikke er et tilstrekkelig strengt kriterium, så den kan bare brukes i det innledende stadiet av databehandling og for å formulere foreløpige konklusjoner.

8. 4. Pearson korrelasjonskoeffisient

Det opprinnelige prinsippet for Pearson-korrelasjonskoeffisienten er bruken av produktet av momenter (avvik av verdien av en variabel fra gjennomsnittsverdien):

Hvis summen av produktene av øyeblikk er stor og positiv, da X Og på er direkte relatert; hvis summen er stor og negativ, da X Og på sterkt omvendt relatert; til slutt, hvis det ikke er noen sammenheng mellom x Og på summen av produktene av momentene er nær null.

For å sikre at statistikken ikke er avhengig av prøvestørrelsen, tas gjennomsnittsverdien i stedet for summen av produktene av øyeblikkene. Inndelingen gjøres imidlertid ikke etter utvalgsstørrelsen, men etter antall frihetsgrader n - 1.

Omfanget
er et mål på sammenhengen mellom X Og på og kalles kovarians X Og på.

I mange problemstillinger innen natur- og teknisk vitenskap er kovarians et helt tilfredsstillende mål på sammenheng. Ulempen er at området til verdiene ikke er fast, det vil si at det kan variere innenfor ubestemte grenser.

For å standardisere et mål på assosiasjon er det nødvendig å frigjøre kovariansen fra påvirkning av standardavvik. For å gjøre dette må du dele S xy på s x og s y:

(8.3)

Hvor r xy- korrelasjonskoeffisient, eller produkt av Pearson-momenter.

Den generelle formelen for beregning av korrelasjonskoeffisienten er som følger:

(noen konverteringer)

(8.4)

Påvirkning av datakonvertering på r xy:

1. Lineære transformasjoner x Og y type bx + en Og dy + c vil ikke endre størrelsen på korrelasjonen mellom x Og y.

2. Lineære transformasjoner x Og y på b < 0, d> 0, og også når b> 0 og d < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

Reliabiliteten (eller på annen måte statistisk signifikans) til Pearson-korrelasjonskoeffisienten kan bestemmes på forskjellige måter:

I henhold til tabellene over kritiske verdier for Pearson- og Spearman-korrelasjonskoeffisientene (se vedlegg, tabell XIII). Hvis verdien oppnådd i beregningene r xy overskrider den kritiske (tabell)verdien for en gitt prøve, anses Pearson-koeffisienten som statistisk signifikant. Antall frihetsgrader i dette tilfellet tilsvarer n– 2, hvor n– antall par sammenlignede verdier (prøvestørrelse).

I følge tabell XV i vedlegget, som har tittelen "Antall verdipar som kreves for den statistiske signifikansen til korrelasjonskoeffisienten." I dette tilfellet er det nødvendig å fokusere på korrelasjonskoeffisienten oppnådd i beregningene. Det anses som statistisk signifikant hvis prøvestørrelsen er lik eller større enn det tabellerte antallet verdipar for en gitt koeffisient.

I henhold til Student-koeffisienten, som beregnes som forholdet mellom korrelasjonskoeffisienten og feilen:

(8.5)

Korrelasjonskoeffisientfeil beregnet ved hjelp av følgende formel:

Hvor m r - korrelasjonskoeffisientfeil, r- korrelasjonskoeffisient; n- antall par som sammenlignes.

La oss vurdere prosedyren for beregninger og bestemmelse av den statistiske signifikansen til Pearson-korrelasjonskoeffisienten ved å bruke eksemplet for å løse følgende problem.

Oppgaven

22 videregående elever ble testet på to tester: USK (nivå av subjektiv kontroll) og MkU (motivasjon for suksess). Følgende resultater ble oppnådd (tabell 8.2):

Tabell 8.2

	USK ( x Jeg)	MkU ( y Jeg)		USK ( x Jeg)	MkU ( y Jeg)

Trening

For å teste hypotesen om at personer med et høyt nivå av internalitet (USC-score) er preget av høy motivasjon for å lykkes.

Løsning

1. Vi bruker Pearson-korrelasjonskoeffisienten i følgende modifikasjon (se formel 8.4):

For enkelhets skyld med databehandling på en mikrokalkulator (i mangel av nødvendig dataprogram), anbefales det å lage en mellomliggende arbeidstabell i følgende form (tabell 8.3):

Tabell 8.3

x Jeg y Jeg

x 1 y 1

x 2 y 2

x 3 y 3

x n y n

Σ x Jeg y Jeg

2. Vi utfører beregninger og erstatter verdiene i formelen:

3. Vi bestemmer den statistiske signifikansen til Pearson-korrelasjonskoeffisienten på tre måter:

1. metode:

I tabellen XIII Vedlegg finner vi de kritiske verdiene til koeffisienten for 1. og 2. signifikansnivå: r cr.= 0,42; 0,54 (ν = n – 2 = 20).

Det konkluderer vi med r xy > r cr . , dvs. korrelasjonen er statistisk signifikant for begge nivåene.

2. metode:

La oss bruke tabellen. XV, der vi bestemmer antall verdipar (antall fag) som er tilstrekkelig for den statistiske signifikansen til Pearson-korrelasjonskoeffisienten lik 0,58: for 1., 2. og 3. signifikansnivå er den henholdsvis 12, 18 og 28.

Herfra konkluderer vi med at korrelasjonskoeffisienten er signifikant for 1. og 2. nivå, men "når ikke" 3. signifikansnivå.

3. metode:

Vi beregner feilen til korrelasjonskoeffisienten og Student-koeffisienten som forholdet mellom Pearson-koeffisienten og feilen:

I tabellen X finner vi standardverdiene til Studentkoeffisienten for 1., 2. og 3. signifikansnivå med antall frihetsgrader ν = n – 2 = 20: t cr. = 2,09; 2,85; 3,85.

Generell konklusjon

Korrelasjonen mellom indikatorene for USC- og MkU-testene er statistisk signifikant for 1. og 2. signifikansnivå.

Merk:

Når du tolker Pearson-korrelasjonskoeffisienten, må følgende punkter vurderes:

Pearson-koeffisienten kan brukes for forskjellige skalaer (forhold, intervall eller ordinal) med unntak av den dikotome skalaen.

En korrelasjon betyr ikke alltid en årsak-virkning-sammenheng. Med andre ord, hvis vi for eksempel fant en positiv korrelasjon mellom høyde og vekt i en gruppe forsøkspersoner, betyr ikke dette at høyden avhenger av vekt eller omvendt (begge disse egenskapene avhenger av en tredje (ekstern) variabel, som i dette tilfellet er assosiert med genetiske konstitusjonelle egenskaper til en person).

r xu » 0 kan observeres ikke bare i fravær av forbindelse mellom x Og y, men også ved en sterk ikke-lineær forbindelse (fig. 8.2 a). I dette tilfellet er de negative og positive korrelasjonene balansert, noe som resulterer i en illusjon om ingen sammenheng.

r xy kan være ganske liten hvis det er en sterk sammenheng mellom X Og på observert i et smalere verdiområde enn det som ble studert (fig. 8.2 b).

Kombinasjon av prøver med ulike midler kan skape en illusjon av en ganske høy korrelasjon (fig. 8.2 c).

y Jeg y Jeg y Jeg

+ + . .

x Jeg x Jeg x Jeg

Ris. 8.2. Mulige feilkilder ved tolkning av verdien av korrelasjonskoeffisienten (forklaringer i teksten (punkt 3 – 5 merknader))

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K f ">Beregn verdien

Fechner-koeffisienten kan ta verdier fra –1 til +1. Kf = 1 indikerer mulig tilstedeværelse av en direkte forbindelse, Kf = -1 indikerer mulig tilstedeværelse av tilbakemelding.

Formålet med tjenesten. Denne tjenesten er designet for å beregne Fechner-koeffisienten online. Betydningen av denne koeffisienten bestemmes også.

Bruksanvisning. Angi mengden data (antall rader), klikk på Neste. Den resulterende løsningen lagres i en Word-fil. Det lages også automatisk en mal for å teste løsningen i Excel.

Beregning av Fechner-koeffisienten består av følgende trinn:

Gjennomsnittsverdiene for hver karakteristikk (X og Y) bestemmes.
Tegnene på avvik (-,+) fra gjennomsnittsverdien for hver av egenskapene bestemmes.
Hvis tegnene samsvarer, tilordne verdien A, ellers B.
Antallet A og B telles ved å beregne Fechner-koeffisienten ved å bruke formelen: K f = (n a - n b)/(n a + n b) hvor n a er antall sammenfall av tegn på avvik av individuelle verdier fra gjennomsnittet ; n b - antall uoverensstemmelser.

Fechner-forhold varierer innenfor [-1;+1] og brukes til å vurdere nærhet til forholdet mellom kvalitative egenskaper (ikke-parametriske metoder).

Grafisk representasjon av Fechner-koeffisienten

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Sjekker om de aktuelle løsningene kan skilles ut med væsketapsverdier.

hvor n a er antall treff på tegn på avvik av individuelle verdier fra gjennomsnittet; n b - antall uoverensstemmelser.

Fechner-forhold kan ta verdier fra -1 til +1. Kf = 1 indikerer mulig tilstedeværelse av en direkte forbindelse, Kf = -1 indikerer mulig tilstedeværelse av tilbakemelding.

Eksempel nr. 2
La oss se på eksemplet på beregning av Fechner-koeffisienten ved å bruke dataene gitt i tabellen:
Gjennomsnittsverdier:

Tegn på avvik fra gjennomsnittet X	Tegn på avvik fra gjennomsnittlig Y	Samsvar med (a) eller ikke samsvarende (b) tegn

Verdien av koeffisienten indikerer at vi kan anta tilstedeværelsen av tilbakemelding.

Estimering av fortegnskorrelasjonskoeffisient.

For å estimere Fechner-koeffisienten er det nok å evaluere dens betydning og finne konfidensintervallet.
Betydningen av Fechner-koeffisienten.

Konfidensintervall for Fechner-koeffisienten:
r(-1,0;-0,4495)

Eksempel nr. 3.
La oss se på eksemplet på beregning av fved å bruke dataene gitt i tabellen.

For å eliminere mangelen på kovarians ble den lineære korrelasjonskoeffisienten (eller Pearson korrelasjonskoeffisienten) introdusert, som ble utviklet av Karl Pearson, Francis Edgeworth og Raphael Weldon (engelsk) Russian. på 90-tallet av XIX århundre. Korrelasjonskoeffisienten beregnes ved hjelp av formelen:

Hvor , - gjennomsnittlig verdi av prøver.

Korrelasjonskoeffisienten varierer fra minus én til pluss én.

Kendalls rangkorrelasjonskoeffisient

Den brukes til å identifisere forholdet mellom kvantitative eller kvalitative indikatorer, hvis de kan rangeres. Verdiene til X-indikatoren vises i stigende rekkefølge og tildelte rangeringer. Verdiene til Y-indikatoren er rangert og Kendall-korrelasjonskoeffisienten beregnes:

stor verdien av rangeringer Y.

Totalt antall observasjoner etter de aktuelle observasjonene med mindre verdien av rangeringer Y. (like rangeringer er ikke tatt i betraktning!)

Spearmans rangkorrelasjonskoeffisient

Graden av avhengighet av to tilfeldige variabler (trekk) X og Y kan karakteriseres basert på analysen av de oppnådde resultatene. Hver X- og Y-indikator er tildelt en rangering. Rangeringene til X-verdiene er ordnet i naturlig rekkefølge i=1, 2, . . ., n. Rangeringen av Y skrives som Ri og tilsvarer rangeringen til paret (X, Y) der rangeringen av X er lik i. Basert på de oppnådde rangeringene X i og Yi, beregnes forskjellene deres og Spearman-korrelasjonskoeffisienten beregnes:

Koeffisientverdien varierer fra −1 (rekkesekvensene er helt motsatte) til +1 (rekkesekvensene er helt identiske). En nullverdi indikerer at funksjonene er uavhengige.

Fechner-tegnkorrelasjonskoeffisient

Antall tilfeldigheter og ikke-tilfeller av tegn på avvik av indikatorverdier fra deres gjennomsnittsverdi telles.

C er antall par hvis tegn på avvik av verdier fra deres gjennomsnitt sammenfaller.

H er antallet par der tegnene på avvik av verdier fra deres gjennomsnitt ikke sammenfaller.

Litteratur: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F0%F0%E5%EB%FF%F6%E8%FF

9. beregne Spearman-korrelasjonskoeffisienten.

Vurdering av forholdet mellom indikatorer: X – plass besatt i rifleskyting; Y – antall treff på topp ti. Alle andre forhold er omtrent like. Resultatene av konkurransen er presentert i tabell nr. 1

Tabell nr. 1 Beregning av Spearmans rangkorrelasjonskoeffisient.

Forklaring:

trinn 1. Ranger (bestill og tilordne serienummer) indikatorene X og Y. Siden X er ordnet og betegner de tilsvarende rangeringene, omskriver vi den i kolonne 3. Vi tildeler rangeringer til indikatoren Y som følger: verdi 10 – rangering 1; 9 – rangering (2+3)/2=2,5; 8 – rangering 4; 7 – rangering 5 osv. (kolonne 4)

trinn 2. beregne rangeringsforskjellen d=Dx-Dy (kolonne 5)

trinn 3. beregne kvadratet av differansen d=(Dx-Dy)2 (kolonne 6)

trinn 4. beregne summen av kvadrater av differansen

Grafisk representasjon av Fechner-koeffisienten

Estimering av fortegnskorrelasjonskoeffisient.

Oppgaven

Løsningen på problemet

8. 4. Pearson korrelasjonskoeffisient

Grafisk representasjon av Fechner-koeffisienten

Estimering av fortegnskorrelasjonskoeffisient.

Spearmans rangkorrelasjonskoeffisient

Fechner-tegnkorrelasjonskoeffisient